Exo d'application

Jiji-rajaa a écrit:

Salut,

A et B sont deux ensembles non vides de l'ensemble E
On considère:
f: P(E)-> P(A)*P(B)
X-------> (x intersection A; X intersection B)
Montre que :

F est injective, <=> A Union B = E

Mercii D'avance !!

BJR Jiri-rajaa !!
Même si c'est un peu tard !!
Voici une réponse à ton questionnement .
=====> : Supposons f INJECTIVE alors
Calculons :
f(E)=(E inter A;E inter B)=(A;B)
f(A union B)=({A union B} inter A; {A union B} inter B)=(A;B)
Ainsi f(E)=f(A union B) l'injectivité de f entraine que E=A union B .

<==== : réciproquement si E=A union B
supposons que f(X)=f(Y) alors
X inter A=Y inter A et
X inter B=Y inter B
On doit monter que X=Y ??
On a X=X inter E = X inter {A union B}={X inter A} union {X inter B}
c'est la distributivité de inter par rapport à union
Comme X inter A=Y inter A et X inter B=Y inter B alors
X=.....={Y inter A} union {Y inter B} puis par une MARCHE ARRIERE , on aura alors
X={Y inter A} union {Y inter B}= Y
Ce qu'il fallait démonter !!
A+ LHASSANE

De rien Jiji-rajaa !!!
Le plaisir était pour moi !!
A+ LHASSANE