Applications

On considere 4 ensembles A B C D et des applications f:A__>B g:B__>C h:C__>D

1- Montrer que g0f injective implique f injective
g0f surjective implique g surjective

2-Montrer que
( g0f et h0g sont bijectives) implique f,g,h bijectives.

bonne chance on attend vos reponses

1-demonstration par l'absurde
gof injective et f non injectvie
qqsoitx.x' appA gof(x)=gof(x') et (f(x)=f(x') et x#x')
==>gof(x)=gof(x')==>x=x' et (f(x)=f(x') et x#x')
et ceci est faux donc notre supposition de debut etait fausse donc gof injective==> f injective
2- on a gof surjectvie==>
qqsoit ( y app C) ( Ex app A) gof(x)=y==>g(f(x))=y==> (y app C ) (Ez app B (f(x)=z et on a f(x) est defnie sur B))g(f(x))=y ==> g surjective