midistant

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slt
tous le monde jai eu un brobleme à resoudre cet exercice:


" soit (E,d) un metrique compact verifiant la proprité suivante
pour tout couple (x,y) apparetenant a E² ,il existe un unique point tel que ,
d(x,z)= d(z,y) = 1/2 d(x,y) ou z sera noté mi(x,y) unique point mi'distant entre xet y.

_1. soi A,B deux ferméd de E disjoints et non vides ,
a. dire pour quoi d(A,B)= {infd(x,y) / (x,y)€ A*B#0}

b. montrons qu'il existe z de E tel que d(z,A) = d(z,B)= 1/2d(A,B)

-2. On deduire que E est connexe.

3. Montrons que l'application mi définit de E*E dans E et donne pour (x,y) l'image mi(x,y) est une application continnue .

3. d( mi(x,y);mi(x',y')) =< d(mi(x,y);x)+d(x,x')+d(x',y')+d(y',mi(x',y'))=d(x,y)/2+d(x,x')+d(x',y')+d(x',y')/2

2) E= A U B , fermés disjoints si ni A ni B est vide,
d'aprés 1) il existe z dans E tq d(z,A) = d(z,B)= 1/2d(A,B)
alors comme d(A,B)>0 alors z est ni dans A ni dans B absurde.
==> E connexe

merci pour ton aide mais pour la question 1 j'ai une idee mais j'ai besoin d'aide pour la bien rediger
supposons que d(A,B)=0
inf(x,B)=0 tel que x€A et inf (A,y)=0 / y€B
d'ou l'inf d(x,y)=0 tel que x€A et y€B
absurde car A et B sont de fermes disjoints de E d'ou d(A,B)#0

On a A et B compacts ==> d(A,B)=d(a,b) avec a€A et b€B
Donc si d(A,B)=0 ==> a=b € AnB absurde