(f')²=4f

Déterminer toutes les applications dérivables de IR dans IR telles que
(f')²=4f

c'est trivial que la fct nulle répond à la question.
on a: (f')²=4f (*)
on dérive une fois et on trouve : 2f''f'=4f'
eq 2f'(f"-2)=0
d'où f'=0 ou f"-2=0
ainsi f=a ou f=x²+bx+c a ,b et c trois réels.
on remplace dans (*) et on trouve: a=0 et c²=4b.

je sais que je sais rien a écrit:

c'est trivial que la fct nulle répond à la question.
on a: (f')²=4f (*)
on dérive une fois et on trouve : 2f''f'=4f'
eq 2f'(f"-2)=0
d'où f'=0 ou f"-2=0
ainsi f=a ou f=x²+bx+c a ,b et c trois réels.
on remplace dans (*) et on trouve: a=0 et c²=4b.

la déduction rouge ce n'est pas juste

Voilà un exo qui a l'air facile mais qui est plus redoutable qu'il n'en a l'air !

A = {x € IR, f(x) = 0 }

1- A est un intervalle fermé

A est clairement fermé par C° de f.

Si a < c < b et f(a) = f(b) = 0 et f(c) # 0 (et donc f'(c) # 0)

a- si f(c) > 0 et f'(c) > 0 alors f admet un maximum sur [c;b] en d avec f(d) >= f(c) > 0
mais alors f'(d) = 0 et f(d) = 0 et contradiction
b- si f(c) > 0 et f'(c) < 0 alors f admet un maximum sur [a;c] en d avec f(d) >= f(c) > 0
mais alors f'(d) = 0 et f(d) = 0 et contradiction
c - pareil pour le cas f(c) < 0

A est donc un intervalle.

2-1 A = Ø

f ne s'annule jamais et donc f' non plus. f est donc nécessairement injective (si f(a)=f(b), f' s'annule entre a et b)
injective + C° => monotone et f' garde un signe constant.

2-1-1 f' > 0
f'/2sqrt(f) = 1 => f = (x+a)² et pas de solution

2-1-2 f' < 0
f'/2sqrt(f) = -1 = > sqrt(f) = a-x et pas de solution sur IR

2-2 A = [a;b]
Raisonnement analogue
f(x) = (x-a)^2 si x < a
f(x) = (x-b)^2 si x > b

2-3 A = ]-oo,a]
f(x) = (x-a)^2 si x > a

2-3 A = [a,+oo[
f(x) = (x-a)^2 si x > a

2-4 A = {a}
f(x) = (x-a)^2