EXO KIX

soit f la fonction telle que : f(x)=sin²(x)/(1+cos²(x)).
1-donne le tableau de variation de f sur l'intervalle [-pi/2,pi/2].
2-démontre que f est une bijection de [-pi/2,0] vers un intervalle doit être derterminé, puis dertermine f^-1(x) en fonction de x.
3-a/ démontre que l'equation suivante admet une seule solution alpha ds ]0,1[: f(x)=1-x
b/ démontre que : alpha=Arctan[((2(1-alapha)/alpha)^(1/2)].


SVP une idée pour la derniere question
Merci D'avance

Qu'elle est l'équation que vérifie alpha??
Sinon pour la dernière question, il se peut que cela repose sur le fait que les graphes de fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la 1ere bissectrice du plan...

il faut juste trouver la fonction convenable
on dicsutons un peu tu pourrais faire entrer la tangente
t'auras:
tanX=[((2(1-X)/X)^(1/2)]
tu me le carré et tu multiplie le tout par X
t'auras une fonction
f(x)=xtan²x-2(1-x) à la quelle tu peux appliquer le TVI
et qui est strictement monotone.

voilà la question que je veux :
b/ démontre que : alpha=Arctan[((2(1-alapha)/alpha)^(1/2)].

voilà ma recherche :
f(x)=1-x -->2f(x)/x=2(1-x)/x ----> 2f(alpha)/alpha=2(1-alpha)/alpha----> Arctan(2f(alpha)/alpha)=Arctan(2f(alpha)/alpha)=alpha .
une idée mnt ???

Le fait de ne pas savoir ce qu'est alpha n'aide pas

2f(x)/x=[2sin²(x)/1+cos²(x)]*1/x=[4sin²(x/2)cos²(x/2)/1+2cos^4(x/2)-1]*1/x=2sin²((x/2)/cos^4(x/2)*1/x=tan²(x/2)*2/cos²(x/2)*x=tan²(x/2)*2/(1/(1+tan²(x/2))*x=.......

voilà l'equation : f(x)=1-x

Bon apres une rapide vérification, ça vient uniquement du fait que alpha = f^{-1}(1-alpha)

f^-1(x)=???

Héhé, tout dépend de comment tu as inversé la fonction f... si tu l'écrit f(x) = tan²(x)/(2+tan²(x)) avant de l'inverser pour les valeurs ou cela ne pose pas problème (ce qui est le cas pour alpha) tu obtiendra la réponse de façon évidente