Endomorphismes d'anneaux

Trouver tous les endomorphismes d'anneaux de C dans C qui laissent fixes les reels

Mahdi a écrit:

Trouver tous les endomorphismes d'anneaux qui laissent fixes les reels

BSR Mahdi !
Je crois savoir , Mahdi , que les seuls endomorphismes d'anneaux de IR sont f=0 ( Endomorphisme identiquement nul sur IR ) ou f=Id .
En conclusion : Tout endo. d'anneaux de IR non identiquement nul garde fixe les réels !!!
A+ BOURBAKI

BJR Mahdi !
Par contre si tu entends chercher les Endos de Sur-Anneaux de IR laissant fixes les réels :
j'ai un exemple à te donner en prenant C sur-anneau de IR
On pourrait choisir l'endomorphisme :
z ------> f(z)=Conjugué (z)
Endomorphisme involutif de C ( fof=Id ) .
Pour tout x de IR , f(x)=x MAIS f n'est pas l'identité sur C.
A+ BOURBAKI

je comprends de votre intervention qu'il n'existe pas d'endomorphismes d'anneaux qui laissent fixes les reels

(exo rectifié)

Mahdi a écrit:

je comprends de votre intervention qu'il n'existe pas d'endomorphismes d'anneaux qui laissent fixes les reels
(exo rectifié)

Ce n'est pas celà !!
J'ai dit :
<Tout endo. d'anneaux de IR non identiquement nul garde fixe les réels >
L'endo Id sur IR
L'endo z-----> z(barre) sur C
en sont des exemples !!!
A+ BOURBAKI
PS : lorsque tu dis << laissent fixes les réels >>
Qu'entends-tu par là :
pour tout x dans IR f(x)=x ????
OU
f(IR) inclus dans IR ????

BOURBAKI a écrit:

Mahdi a écrit:

je comprends de votre intervention qu'il n'existe pas d'endomorphismes d'anneaux qui laissent fixes les reels
(exo rectifié)

Ce n'est pas celà !!
J'ai dit :
<Tout endo. d'anneaux de IR non identiquement nul garde fixe les réels >
L'endo Id sur IR
L'endo z-----> z(barre) sur C
en sont des exemples !!!
A+ BOURBAKI
PS : lorsque tu dis << laissent fixes les réels >>
Quentends-tu par là :
pour tout x dans IR f(x)=x ????
OU
f(IR) inclus dans IR ????

f(x)=x pr tt x de R

Re-BJR MAhdi :
Tu peux démontrer le résultat suivant très connu :
<< Les seuls homomorphismes de l'anneau {IR,+,x}
sont soit l'homomorphisme nul , soit l'homomorphisme identité Id >>
C'est presque une question de Cours pour les MPSI et tu comprendras
alors la réponse que je t'ai donnée !!!!
Bon Courage !!
A+ BOURBAKI

comme vous l'avez mentionné l'application ki a z associe z barre est un morphisme d'anneau de C dans C qui laisse fixe les reels je cherche des autres

Mahdi a écrit:

Trouver tous les endomorphismes d'anneaux de C dans C qui laissent fixes les reels

On dit homomorphisme d'anneau. Endomorphisme pour les espaces vectoriels c'est linéaire d'un e.v dans lui même.

f: C --> C hom <==> f(z+z')=f(z)+f(z') et f(zz')=f(z)f(z') qqs z,z'€C

Je pense que f est de la forme : f(z)=a z+b z(bar)

Mahdi a écrit:

Trouver tous les endomorphismes d'anneaux de C dans C qui laissent fixes les reels

BSR Mahdi !!!
Je persiste à croire qu'il y en a que DEUX !!
L'identité sur C et
Le morphisme involutif z---------> z(barre) de C
Quant à ceux là :
<< f est de la forme : f(z)=a z+b z(bar) >>
ce sont bien des homomorphismes du C-ev C qui laissent fixes les réels lorsque a, b sont choisis de manière que a+b=1
mais malheureusement ce ne sont pas des morphismes pour la structure d'anneaux car : f(zz')=f(z)f(z') qqs z,z'€C
NON VERIFIEE!!!!
A+ BOURBAKI-Oeil_de_Lynx-LHASSANE

BJR Mahdi !!
Voilà une Démo valide de ce que je t'ai proposé !!
Fini les doutes et les incertitudes !!!!
Soit f un morphisme de C pour la structure d'anneau habituelle et qui laisse fixes les réels .
Pour tout z de C , il s'écrit z=a+ib avec a,b dans IR
f(z)=f(a+ib)=f(a)+f(i).f(b)=a+b.f(i)
On a aussi -1=i^2 donc
f(-1)=f(i^2)={f(i)}^2=-1
Autrement dit f(i) est une racine carrée de -1 dans C
(*) Si f(i)=i alors cela conduit à f(z)=a+ib=z donc f=Id
(**) Si f(i)=-i alors cela conduit à f(z)=a-ib=z(barre) d'ou l'autre solution f l'application Conjugué z----->z(barre)
A+ LHASSANE

Merci beaucoup..