Exo 2

Résoudre dans R x²-19[x]+88=0
[x] est la partie entière

Voilà ma réponse
si 0=< x <1
on a x²+88=0 S= nul

sinon on va mettre [x]=X alors
x²-19X+88=0
x1=8 et x2=11

X ####x situ veux faire delta tu doisfaire comme ceci
delta=0-4(19[x]+88 ce qui change un peu tout

Posons f(x)=x²-19x+88 et g(x)=x²-19[x]+88
Remarquons que pour tout x: f(x) <= g(x) avec inégalité stricte si x n'est pas entier relatif.

La fonction f est strictement positive sur ]-inf,8[ union ]11,+inf[, il en est donc de même de g, donc g(x)=0 n'admet pas de solution sur cette partie de R. Il reste à faire l'étude sur [8,11].

g est continue strictement croissante sur [8,9[ et g(=0, donc la seule solution sur [8,9[ est 8.

g est continue strictement croissante sur [9,10[ avec g(9)=-2 et et lim g = 17 quand x tend vers 10 par valeurs inférieures. Il y'a donc une seule solution sur [9,10[ qui est: rac(83).

En faisant de même sur [10,11[, on trouve encore une solution qui est: rac(102).

Et bien sur 11 est solution.

L'ensemble des solutions est donc: {8, rac(83), rac(102), 11}

PS: mohamed, la méthode que tu utilise ne serait valable que si la fonction en question est linéaire, ce qui n'est pas le cas ici: c'est ce qui fait que tu as laissé 2 solutions en route.

autre possibilité :
on pose : x=a+b/ a £N et 0<=b<1
donc x²-19[x]+88=0 <=> (a+b)²=(19a-88)£N <=> (a+b)²£N
et puisque a £N et 0<=b<1 => a+b£N donc b=0
donc x£N => x²-19x+88=0
bé mn tu n'a qu'a résoudre cette equation ds N
x=8 ou x=11

iverson_h3 a écrit:

autre possibilité :
on pose : x=a+b/ a £N et 0<=b<1
donc x²-19[x]+88=0 <=> (a+b)²=(19a-88)£N <=> (a+b)²£N
et puisque a £N et 0<=b<1 => a+b£N donc b=0
donc x£N => x²-19x+88=0
bé mn tu n'a qu'a résoudre cette equation ds N
x=8 ou x=11

Tu as aussi laissé 2 solutions en route...
Attention à la gaffe: Si x^2 £ N, rien ne prouve que x £ N.
exemple avec rac2: prendre a=1 et b=rac2 - 1...

hamzaaa a écrit:

iverson_h3 a écrit:

autre possibilité :
on pose : x=a+b/ a £N et 0<=b<1
donc x²-19[x]+88=0 <=> (a+b)²=(19a-88)£N <=> (a+b)²£N
et puisque a £N et 0<=b<1 => a+b£N donc b=0
donc x£N => x²-19x+88=0
bé mn tu n'a qu'a résoudre cette equation ds N
x=8 ou x=11

Tu as aussi laissé 2 solutions en route...
Attention à la gaffe: Si x^2 £ N, rien ne prouve que x £ N.
exemple avec rac2: prendre a=1 et b=rac2 - 1...

bé c parce que g a£N et b £(0.1( donc c²=<(a+b)²<c²+2c+1 /c>=a et c £N
=> c =<a+b < c+1 => a+b£N => b=0 (la somme d'un entier et un réel £N=> a£N et b£N => b=0 ( b£(0.1( ))
alors?

Revois ce que tu as écrit...
Mon exemple avec x=rac(2) vérifie aussi a £ N et b £ [0,1[, pourtant x n'est alors même pas rationnel... et de toute façon tout réel (positif^^) s'écrit sous la forme a+b avec a £ N et b £ [0,1[...

Ton raisonnement équivaut au fait que la fonction f:N -> N avec f(n) = n² est surjective, ce qui n'est pas le cas.
x £ N seulement dans le cas d'un carré parfait.

hamzaaa a écrit:

Revois ce que tu as écrit...
Mon exemple avec x=rac(2) vérifie aussi a £ N et b £ [0,1[, pourtant x n'est alors même pas rationnel... et de toute façon tout réel (positif^^) s'écrit sous la forme a+b avec a £ N et b £ [0,1[...

Ton raisonnement équivaut au fait que la fonction f:N -> N avec f(n) = n² est surjective, ce qui n'est pas le cas.
x £ N seulement dans le cas d'un carré parfait.

oui c vrai je me ss rendu conte de cela merci ms pr ta méthode il faut montrer que x= V83 nn ps donner seulement le résultat tu crois ps?

Ben c'est simple non?

La solution incluse dans [9,10[ vérifie x² - 19*9 + 88 = 0
donc x² = 83

Idem pour l'autre solution.

ah ok merci