Une question sur les applications

Bjr,

Soit f una application de [ 1/4,+infini [ à [(+) ou (-) 1/4,+infini [
tel que f(x)=x-rac(x)
cmt montrer que f est surjective ?

On trouve une solution à l'équation f(x)=y
<=> x-rac(x)=y

et après ?

on a

f(x)=y <=> x + Vx =y
<=> Vx = x-y
<=> x=x² -2xy +y²
<=> x²-x(2y+1) + y²=0
<=> Delta = (2y+1)² -4y²= 4y² +4y+1 -4y²
= 4y +1 >0
alors f est surjective

wéééééééééééééééééééé c tout à fait juste

dofuscawots a écrit:

on a

f(x)=y <=> x + Vx =y
<=> Vx = x-y
<=> x=x² -2xy +y²
<=> x²-x(2y+1) + y²=0
<=> Delta = (2y+1)² -4y²= 4y² +4y+1 -4y²
= 4y +1 >0
alors f est surjective

IL Y A DES ERREURS !!
1) La fonction f c'est f(x)=x-rac(x) ...
Maintenant , ta méthode est correcte dans le fond , tu arrives après une élévation au carré à supprimer les radicaux de la planète ...
Pourtant , il y a simple !!!
Tu poses racx=U avec x>=0
et tu obtiens directement :
U^2-U=y soit U^2-U-y=0
puis Delta= 1+4y qui doit etre >=0 pour garantir l'existence de solutions
Donc y>=-1/4 puis U1=(1/2).{1+rac(1+4y)} ou U2=(1/2).{1-rac(1+4y)}
et puis tu peux continuer ...... en n'oubliant pas que x=U^2 , c'est U1 qui convient pour avoir x>=1/4 . La soluce est x=(1/4).{1+rac(1+4y)}^2 .
A+ BOURBAKI

Merci pour l'astuce.