a+b=1

a et b >0 a+b=1

prouvez que :


(a + (1/a))² +(b+ (1/b))²>= 25/2

C'est la convexité de (x+1/x)² directement

dans l'exercice on ne nous demande pas d'utiliser la convexité !!

ça veut dire quoi la convexité ??!!??

convexite veut dire que la deuxieme derivee est positif!!
avec la convexite on peut aplliquer le theo de jensen

Salut tout le monde voilà ce que j ai fait mais je suis bloqué

(a + (1/a))² +(b+ (1/b))²>= 25/2

(a + (1/a))² +(b+ (1/b))² + 2((a + (1/a))(b+ (1/b)) - 2(a + (1/a))(b+ (1/b)) =

(a+b+ 1/a + 1/b)² - 2(a + (1/a))(b+ (1/b))

Et on a a + 1/a >= 2 et b + 1/b >= 4

Donc (a+b+ 1/a + 1/b)² >= 16

Et on a aussi
2(a + (1/a))(b+ (1/b))= 2(ab+ a/b + b/a + 1/ab) = 2(ab + ((a+b)² - 2ab + 1))/ab )

cela est égale 2( ab+ 1/ab + 1/ab - 2 )

et on a ab+ 2/ab >=2 donc 2(ab+ 2/ab -2) >=0 c’est là où je suis bloqué !

remarque que ab+1/ab> 2 !!

wé je l ai fait mais ça n'as rien donné

(a+1/a)²+(b+1/b)²=(a²+b²)(1+(1/a²b²))+4=(1-2ab)(1+(1/a²b²))
on a ab=1/4-(a-(1/2))²
ainsi ab>=1/4
on encadre et on trouve le resultat

cet exo est posté plusieurs fois

oui deja posté

https://mathsmaroc.jeun.fr/premiere-f5/ex-t6299.htm#50033

a²+b²>(a+b)²/2

cauchy schwarz

po de caushy schwartz ni d'autre chose c tres facile est vous avez tous coplique tous, elle est extraite d'un livre de college