Exo 47 page 86

luu !
svp jetez un coup d'oil sur l'exo 47 page 86
il y avé une faute
j'ai trouvé que X_n décroissante !!

Voilà ma réponse :
on pose la fonction : f_n(x)=nx+x^3-n
on af_n+1(x)-f_n(x)=x-1<0 ----> f_n+1(x)<f_n(x) --->f_n décroissante.
f_(n+1)(X_n+1)<f_n(X_n+1)
f_(n+1)(X_n+1)=f_n(X_n)=0 -->f_n(X_n)<f_n(X_n+1)---->X_n>X_n+1--> X_n décroissante.

nn pas du tout j ai trouve que Xn croissante;voila ma reponse:
Fn+1(Xn)=Xn-1-n inf 0
on a 0=Fn+1(Xn+1)
donc Fn+1(Xn) inf Fn+1(Xn+1)
ouisque F est coissante on deduit que Xn inf Xn+1
DONC Xn EST COISSANTE

$arah a écrit:

nn pas du tout j ai trouve que Xn croissante;voila ma reponse:
Fn+1(Xn)=Xn-1-n inf 0
on a 0=Fn+1(Xn+1)
donc Fn+1(Xn) inf Fn+1(Xn+1)
ouisque F est coissante on deduit que Xn inf Xn+1
DONC Xn EST COISSANTE

cé koi la fonction que t'as posé ??

Fn(x)=nx+x^3-n
mais toi ta pose Fn(x)=nx-x^3-n

$arah a écrit:

Fn(x)=nx+x^3-n
mais toi ta pose Fn(x)=nx-x^3-n

oups oui mais ça change rien ^^

non ca change la monotonie
la preuve est que je trouve Xn croissante et toi le contraire en plus on a
nXn+Xnouss3=n
donc tu peus po considerer la fonction que ta ecris

f_n+1(x)-f_n(x)=x-1<0

Nea® a écrit:

f_n+1(x)-f_n(x)=x-1<0

je pense pa
dans ton ecriture il ya 2 fonction differentes
Fn+1 et Fn
pourtant il faut comparer le image de 2 nombre diferant mais avec la mm fonction

f_n+1(x)=(n+1)x+x^3-n-1 et f_n(x)=nx+x^3-n --->f_n+1(x)-f_n(x)=x-1 <0

$arah a écrit:

Nea® a écrit:

f_n+1(x)-f_n(x)=x-1<0

je pense pa
dans ton ecriture il ya 2 fonction differentes
Fn+1 et Fn
pourtant il faut comparer le image de 2 nombre diferant mais avec la mm fonction

nn cé la mem fonction car le viable est n est non po x

Ben non... la variable est x et dans les 2 fonctions, n n'est qu'un paramètre dans f_n.
Vous pouvez poster l'exo?

1) démontrer pour tt n de IN il existe X_n seul de [0,1] :
nX_n+X^3_n=n
2) démontrer que (X_n) est croissante.
......

nn la fonction varie de n
si on change de n la fonction change
tu peux trouver un contraire exemple facilement

Nea® a écrit:

Voilà ma réponse :
on pose la fonction : f_n(x)=nx+x^3-n
on af_n+1(x)-f_n(x)=x-1<0 ----> f_n+1(x)<f_n(x) --->f_n décroissante.
f_(n+1)(X_n+1)<f_n(X_n+1)
f_(n+1)(X_n+1)=f_n(X_n)=0 -->f_n(X_n)<f_n(X_n+1)---->X_n>X_n+1--> X_n décroissante.

Sinon alors ou est ma faute !!!!

f_n+1(x)<f_n(x) --->f_n décroissante
impossible de conclure ceci

$arah a écrit:

f_n+1(x)<f_n(x) --->f_n décroissante
impossible de conclure ceci

herfa ^^
f_n doit être croissante alors , on peut la démontrer par dérivation .

ouai absolument

Bon, voilà comment j'avais prouvé que la suite est croissante...

(n+1)x_(n+1) + x_((n+1))^3 = n+1 = nx_n + (x_n)^3 +1
donc n(x_(n+1) - x_n) + ((x_(n+1))^3 - (x_n)^3) + x_(n+1) = 1
on en déduit que n(x_(n+1) - x_n)+((x_(n+1))^3 - (x_n)^3)>=0
c'est une somme positive de 2 termes de même signe, donc...

pk la somme est positive ??

car cette somme est égale à 1 - x_(n+1) qui est positif

mais (x_n+1)^3<x_n , x_n appartient à [0.1].

Relis bien ce que j'ai écrit: on trouve une formule du genre:
n(a-b) + (a^3 - b^3) >= 0.
La fonction x -> x^3 étant croissante, n(a-b) et (a^3 - b^3) sont de même signe.
Ils sont bien sur alors tous les 2 positifs...

Ils sont bien sur alors tous les 2 positifs car la x->x^3 croissante et a<b ce qu'on ai po !!!!
on veut démontrer que x_n<x_n+1

mais nonnnnnn, on s'en fout de si a<b ou a>b (c'est plutôt ce qu'on cherche non?).

Attend voilà la démonstration.
Supposons a < b, alors n(a-b) < 0 et (a^3 - b^3) < 0
donc n(a-b) + (a^3 - b^3) < 0 ce qui est absurde.
Donc a >= b.