continuité

Soit f :IR ---> IR définie par:
f(x)=0 si x IR\Q* et f(x)=1/q si x=p/q . f est-elle continue sur IR?

Ca a l'air très simple ???

Si x=p/q € Q, f(x) = 1/q > 0
soit eps=1/2q
quel que que soit d > 0 il existe un réel non rationnel y tel que |x-y| < d et |f(x)-f(y)| = 1/q > eps

F n'est donc continue en aucun point rationnel

la fonction n'a été pas définit en 0. DSL ===> f(0)=0.

ThSQ a écrit:

Ca a l'air très simple ???

Si x=p/q € Q, f(x) = 1/q > 0
soit eps=1/2q
quel que que soit d > 0 il existe un réel non rationnel y tel que |x-y| < d et |f(x)-f(y)| = 1/q > eps

F n'est donc continue en aucun point rationnel

f est continue sur tt pts de R\Q* en effet pour tt irrationnel x il existe une suite de rationnels convergente vers x ,
soit un=pn/qn une telle suite ,
on a f(un)=1/qn
qd n-->+00 un--> x et qn-->+00 car sinon
(qn) est convergente et puisqu eslle est delemnts dans Z alors elle est stationnaire de limite q (dans Z*) donc pn=x.qn (pn) elle aussi vers p dans Z* alors x=p/q £qQ absurde !!
donc n-->+00 ,qn-->00==> 1/qn-->0 =f(x)
d'ou cqfd.
pour x=0 il est evident que f continue en ce point.
> f est continue sur R\Q*
a+

BJR Selfrespect !!!
Il y a quelquechose qui me tracasse , tu dis :
<< qn-->+00 car sinon
(qn) est convergente et puisqu eslle est delemnts dans Z alors elle est stationnaire de limite q (dans Z*) >>
On peut supposer {qn} suite de IN* ( le signe de un est supporté par pn ) .
Pourquoi si {qn}n ne tend pas vers +oo , serait-elle forcément CONVERGENTE ?????!!!!!!
PS : j'ai une jolie solution du Pb que j'ai naguère trouvée sur le Site de Jean-Michel FERRARD ( Prof. de Spé au Lycée Saint-Louis à PARIS )

BOURBAKI a écrit:

BJR Selfrespect !!!
Il y a quelquechose qui me tracasse , tu dis :
<< qn-->+00 car sinon
(qn) est convergente et puisqu eslle est delemnts dans Z alors elle est stationnaire de limite q (dans Z*) >>
On peut supposer {qn} suite de IN* ( le signe de un est supporté par pn ) .
Pourquoi si {qn}n ne tend pas vers +oo , serait-elle forcément CONVERGENTE ?????!!!!!!
PS : j'ai une jolie solution du Pb que j'ai naguère trouvée sur le Site de Jean-Michel FERRARD ( Prof. de Spé au Lycée Saint-Louis à PARIS )

Bonjour Bourbaki , je viens de le remarquer moi aussi,
ben on peut dire que si (|qn|) ne diverge po vers 00 . donc on peut extraire de (qn) une sous suite bornée , de cette derniere ; B.W ==> on peut y extraire une suite convergente (q(f(n)) ) donc stationnaire !! et donc {q(f(n))x=p(f(n)) } , (pf(n))) stationne d'ou x=p(f(n))/q(f(n)) cv -->p0/q0=x irrationnel absurde ,
merçi .