convergence et calcul de limite

on considere la suite (u_n) definie par :
u_n= rac(2+rac(2+......rac(2))) + rac(2*rac(2*....rac(2)))

où 2 apparait n fois dans la somme et apparait aussi n fois dans le produit.

Montrer que (u_n) converge, puis determiner sa limite.

BJR Callo !!!
Il faut regarder ta suite globale comme SOMME de 2 suites à termes POSITIFS :
{sn}n et {t}n définies par :
sn=rac(2+rac(2+......rac(2))) et
tn=rac(2*rac(2*....rac(2)))
On a manifestement les relations de réccurence suivantes :
{s(n+1)}^2=2+sn puis
{t(n+1)}^2=2tn soit :
s(n+1)={2+sn}^(1/2) et t(n+1)={2tn}^(1/2)
Ce sont deux suites réccurentes et qui convergent toutes les deux ( selon le raisonnement habituel ) vers 2.
Par conséquent ta suite {un}n converge en tant que SOMME de suites CONVERGENTES et aura pour limite 4.
A+ BOURBAKI

Bonjour Mr Bourbaki ,
elle est bonne cette réponse , et c'etait mon but dans l'exo : un reflexe exactement comme le votre : diviser la suite en 2.
a+