equation

trover toute les fonctions f definie sur R tel que:
f(xf(y)+x))+f(yf(x)-y))=f(x)-f(y)+2xy

salut,

-on a f(0) = 0 .
-f(x)>x ==> f(0)>0 ce qui est absurde .
-f(x)<x ==> f(0)<0 ce qui est absurde .

ainsi on peut deduire que f(x) = x .

toetoe a écrit:

salut,

-on a f(0) = 0 .
-f(x)>x ==> f(0)>0 ce qui est absurde .
-f(x)<x ==> f(0)<0 ce qui est absurde .

ainsi on peut deduire que f(x) = x .

C'est quoi ça?

Pas compris non plus la solution de toetoe


F(x,y) = f(xf(y)+x)+f(yf(x)-y) - (f(x)-f(y)+2xy) = 0

F(0,0) : f(0) = 0
F(0,x) : f(-x) = f(x)
F(x,-y) + F(x,y) : f(x-xf(y)) + f(x+xf(y)) = 2f(x)

On réinjecte dans l'équation initiale et il sort bien f(x) = x.

Je n'ai pas vérifier les calculs ci-dessus mais, sauf erreur de ma part, la fonction f(x)= - x vérifie également l'équation, ce qui semble les invalider.

(en fait si f vérifie l'équation, -f la vérifie également )

Oui tu as raison, je me suis planté quelque-part

Pas le courage de reprendre les calculs ....

x=y=0 ==> f(0)+f(0)=0 ==> f(0)=0
x=0 ==> f(-y)=-f(y) f est impaire.
y=-x ==> f(-xf(x)+x)= f(x)-x² et f(xf(x)+x)= f(x)+x²
si f(x)=1, alors f(0)=f(x)-x²=1-x²=0 ==> x=1 ou x=-1.
si f(1)=1:
y=1 ==> f(2x)+f(f(x)-1)=f(x)+2x-1
y=-1 ==> f(-f(x)+1)=f(x)+1-2x ==> f(f(x)-1)=-f(x)+2x-1

==> f(2x)=2f(x) ....

Je suis également arrivé à la conclusion, par des calculs similaires à ceux d'abdelbaki, que:

a) pour tout entier relatif k, f(kx)=kf(x)
b) f(1)=1 ou bien f(1)=-1.

On en déduit qu'il y a deux cas: sur les entiers relatifs, f est soit Id, soit -Id

Dans le premier cas, bf(a/b)=f(b.a/b)= f(a)=a implique que f est l'identité sur les rationnels.
Si f est continue, on en déduit par densité de Q que f est l'identité.

Dans le second cas on obtient bien sûr f = -Id.


En résumé: si on suppose que f est continue, alors f=Id ou bien f=-Id.

salut,

desolé pour la solution illogique .Parfois,ça m'arrive de dire n'importe quoi.

je me rexcuse les amis .