Exos applications naré maradouni^^

Salut, bon primo je tiens a préciser qu'on a pas fait la partie sur les composés dial les applications mais bon j'arrive à gérer^^.

exo 1 ( c'est l'exo 11 dail dima dima si vs avez):
Soit A et B deux ensembles et f une applications de A vers B
Montrer que :
(qqsoi x € P(A)) : f^(-1)(f(x)) = x <=> f tabaiouni injectif

exo 2 ( c'est l'exo 12 dial dima dima si vs avez):
Soit A et B deux ensembles et f une applications de A vers B
Montrer que :
(qqsoi x € P(A)) : f^(-1)(f(y)) = y<=> f tabaiouni surjectif

j'ai un autres exo celui si en fait c'est juste une question^^:
trouver x tel que : (x+1)/(2x-1) € IN et x€Z

J'ai tenté plein de truc mais rien^^.
Merci d'avance.
(pr lé deu 1er exo essay detr clair jé po compri la solution f dimadima moi^^)
remarques :
je sais que : f^(-1)(f(x)) = x est toujours vrai a condition que f soit bijectif (donc surjectif aussi) mais je sais pas si cette relation est valable même quand x est un ensemble. (x€ P(A) ici). Si elle est valable, alors
f^(-1)(f(x)) =x <=> f injectif et surjectif.
Je suis plus pfff je trouve que l'exo sonne pas très bien.

2x-1-x+2/2x-1=1+2-x/2x-1===>x=1

merci badr mais t'as oublier -1 aussi. Comment t'as fait pr déduire 1+(2-x/2x-1)===>x=1 ? je veux la démo badr pas les soluces juste en regardant je peux te dire que les soluces c'est 1et -1.
Merci

anas1208 a écrit:

merci badr mais t'as oublier -1 aussi. Comment t'as fait pr déduire 1+(2-x/2x-1)===>x=1 ? je veux la démo badr pas les soluces juste en regardant je peux te dire que les soluces c'est 1et -1.
Merci

-1 et evident car 0£N

j'ai decompose x+1/2x-1 a un nombre a+b/a=1+b/a!!!

Salut
J'ai Une méthode !
On veut démontrer que 1+(2-x)/(2x-1)€IN et (x+1)/(2x-1) €IN
alors (2-x)/(2x-1)+(x+1)/(2x-1)+1 €IN C'est à dire 1+( 3/2x-1) € IN C'est 2x-1 appartient a [-3,3] Alors x appartient a {-1,0,1,2} alors S={-1,0,1,2} . réciproquement Seul -1 et 1 et 2 vérifie Notre Problème. Alors S'={-1,1,2}
Ma Méthode N'est pas général! Mais Bien Applicable Pour cet exo!(sauf erreur)
A+

j'ai compris la décompostion badr mais 1+(2-x/2x-1)===>x=1 je comprends pas ça.
euh dsl pr le dérangement :d sinn les deux 1er exo?

Je viens de lire omar merci. C'est clair c'est ce que je voulais^^. Badr merci aussi mnt douzou les 2e permier exo houma limardoulia rassi^^ (malek tu la enlevé?)

svp aidez moi pr les deux premiers.

BSR anas 1208 !!
Soit f une application de A vers B ( non nécessairement INJECTIVE , ni SURJECTIVE )
Si U est une partie de A , on définit f(U) ainsi :
f(U)={y dans B : il existe x dans U avec y=f(x)} s'appelle l'image directe de U par f , c'est une partie de B.
Si V est une partie de B , on définit f^(-1)(V) ainsi :
f^(-1)(V)={x dans A : f(x) est dans V} s'appelle
l'image réciproque de V par f , c'est une partie de A.
On a l'inclusion suivante :
U est toujours inclus dans f^(-1)(f(U))
et ce que l'on te demande de prouver , c'est que :
{Pour tout U partie de A , f^(-1)(f(U))=U}<===>{f injective}
Voilà pourquoi , tu as mal à la tête !!!!!
A+ BOURBAKI

PS : tu noteras que pour tout x de A on a f{x}={f(x)}

Ouimonsieur mais ça ne réponds pas à ma question comment puis-je démontrer que f est injective ?
Bon j'essaie de résonner et j'ai ça :
1- f^(-1)(f(U))=U <=> f est bijective ,est toujours vrai.
2- f^(-1)(f(U))=U => f est injective
3- je ne pense pas que l'implication aille dans l'autre sans (donc pas d'équivalence non?) car pour que f puisse accepter une application réciproque il faut que f soit bijective non? svp dites le moi si je me trompe or f injective n'implique pas f est bijective dc...
4- c'est là que normalement j'ai mal â la tête^^.
Svp aidez moi
Merci encore Mr bourbaki pour tout ce que vous faites :d
Question : est ce que la relation f^(-1)(f(x))=x est valable même si x est une partie d'ensemble? (dsl si ça parait bête mais j'essaie de comprendre le cours tout seul)

Bon!! Allons y !!!!
1) supposons que f^(-1)(f(U))=U pour toute partie U de A
Alors soient x et x' dans A tels que f(x)=f(x') alors cela signifie que f(x) E {f(x')} donc x appartient à f^(-1)({f(x')}
Or f{x'}={f(x')} donc x appartient à f^(-1)(f({x'}))
Mais en prenant A={x'} il résulte des hypothèses que
f^(-1)(f({x'}))={x'}
donc x E {x'} ce qui signifie x=x'
D'ou f est INJECTIVE !!!!!
A+ BOURBAKI

Excellente demonstration Mr Lhassane !!!

ok compris merci beaucoup. Par contre : est ce que la relation f^(-1)(f(x))=x est valable même si x est une partie d'ensemble? (dsl si ça parait bête mais j'essaie de comprendre le cours tout seul)
Ps: ça veut dire quoi le E? € non?

Merci encore

Merci bcp Spidercam !
Pour la réciproque , c'est facile cette fois !!!
Supposons f INJECTIVE
Soit U une partie de A , on a toujours l'inclusion
U est inclus dans f^(-1)(f(U)) indépendemmnet de la nature de f
Reste à prouver que f^(-1)(f(U)) est inclus dans U ???
Alors soit x E f^(-1)(f(U)) alors , par définition de l'image réciproque , f(x) E f(U) et , par définition de l'image directe , il existera un élément z E U tel que f(x)=f(z) et comme f est supposée INJECTIVE alors x=z ainsi x E U .
A+ BOURBAKI
Maintenant Anas 1208 , va te prendre un bon verre de Coca pour le mal de tête et surtout dis-toi que dans les Bouquins , c'est pas toujours parfait !!!!

mdr merci beaucoup c'est compris. Mais pour ma question svp pas de réponses? f^(-1)(f(U))=U non? (U une partie d'ensembles)

anas1208 a écrit:

ok compris merci beaucoup. Par contre : est ce que la relation f^(-1)(f(x))=x est valable même si x est une partie d'ensemble? (dsl si ça parait bête mais j'essaie de comprendre le cours tout seul)
Ps: ça veut dire quoi le E? € non?
Merci encore

Le symbôle E signifie APPARTIENT ( yantami ila )
Maintenant , je comprends ce qui te choque , il s'agit d'un ABUS d'ECRITURE entre
l'application f de A dans B qui à x fait correspondre f(x).
et
l'application F de P(A) dans P(B) qui à U partie de A fait correspondre
la partie F(U)=( y E B : ilexiste x E U tel que f(x)=y } de B.
que l'on a noté aussi f(U)
C'est bien cela qui te trouble !!!!! C'est un abus d'écriture !!!
A+ BOURBAKI

D'accord donc la relation f^(-1)(f(x))=x est toujours valable et ce même si x est une partie d'ensemble.
Ok merci beaucoup.

anas1208 a écrit:

D'accord donc la relation f^(-1)(f(x))=x est toujours valable et ce même si x est une partie d'ensemble.
Ok merci beaucoup.

Si f est INJECTIVE !!!! C'est OK !!!!
A+ Anas et Bon Courage!!!!
PS :considère l'applicatio f: x-----> f(x)=x^2 de IR dans IR alors bien sûr f n'est pas injective !!
Prends U=[0;2] alors :
f(U)=[0;4] puis f^(-1)(f(U))=f^(-1)([0;4])=[0;2]union[-2;0] donc on n'a pas f^(-1)(f(U))= U
A+ BOURBAKI

oui mr bourbaki je suis d'accord mais le problème est que pr que f admette f^-1 elle doit etre bijective non (et donc automatiquement injective).
Euh votre avis?

anas1208 a écrit:

oui mr bourbaki je suis d'accord mais le problème est que pr que f admette f^-1 elle doit etre bijective non (et donc automatiquement injective).
Euh votre avis?

La notation f^(-1) dont tu parles c'est pas la même que f^(-1) ( notation image réciproque ).
Si on veut etre RIGOUREUX on devrait noter :
f(U) selon F(U) et
f^(-1) (V) selon G(V)
F: P(A) -------->P(B) U ------->F(U)=....
G: P(B) -------->P(A) V--------> G(V)= ....
A partir de n'importe quelle fonction f , on peut définir les applications F et G ; mais pour qu'on puisse définir la réciproque ( ou fonction inverse ) de f que l'on note aussi f^(-1) il est NECESSAIRE que f soit BIJECTIVE !!!
Kayn Lemkhaltta fles notations !!! ABUS d'ECRITURES
A+ BOURBAKI

Ahhh donc pour définir f^-1 la fonction réciproque il faut que f soit bijective sinon si l'on veut l'image 3akssiya f^-1 de B par exemple il n'est pas nécessaire qu'elle soit bijective ok compris. Je me demande pourquoi ils leur ont donné la mêmes notations alala. Merci encore.
bonne soirée.

EXACT mon AMI !!
Tu as PARFAITEMENT saisi !!
<<Je me demande pourquoi ils leur ont donné la mêmes notations alala >>
C'est pour donner des maux de tête dont on peut se passer !!
A+ BOURBAKI