Un Tres bon exercice !

Soit f une applications de IN vers IR tel que

f(0)=2
(qlq soit n€ IN) ; f(n+1)=racine de f(n)

1) montrer par recurence
a-quelque soit n € IN : f(n) > 1
b- quelque soit n € IN f(n+1)<f(n)
c- quelque soit n € IN f(n) <= 2

2) montrer que :
a- quelque soit n € IN /f(n+1)-1/ <= 1/2 * /f(n)-1/
b-montrer par recurence que
quelque soit n € IN /f(n)-1/<=(1/2)^n

A+
N:B / / signifie valuer abosolue !

... et en déduire la limite de f(n)

Salam hamza

peus tu le resoudre sans limite ?

A+

Facilement, mais bon je laisse ça aux étudiants de TCM ou de 1sm, qui ne devraient pas avoir de mal non plus

1)pour n=0 f(n)=2 correct
f(n+1)>1 on a racf(n)=f(n+1) et
f(n)>1==>rac(nf)>1==>f(n+1)>1
2)on af(n+1)>1 qqsoit ne deN
donc racf(n)>1==>f(n)>racf(n)==>f(n)>f(n+1)
f(n)<=2 qqsoit ne de N
f(n+1)<f(0) on a
f(n)>f(n+1)qqsoit n de N==>f(0)>=f(n+1)==>f(n+1)<=2qqsoit n de N
grand 2)
on sait deja que pour tout n de N
1<f(n+1)<f(n)<=2==>f(n) postif qqsoit n de N
f(n+1)=racf(n)
comme f(n)et f(n+1) superieur a 1 on peut enlever la valeur absolue
<=>2f(n+1)-2<=f(n)-1<=>0<=(racf(n)-1)² ce qui est correct
pourn =0 correct on a a demontrer que
/f(n+1)-1/<=1/2^n+1=1/2*1/2^n sachant que /f(n)-1/<=1/2^n
<=>1/2/f(n)-1/<=1/2^n+1 ca on doit le demontrer <=>/f(n)-1/<=1/2^n correct