Fonctions

Salut
soit f la fonction tel que:
N------>N
f n------->f(n)
tel que popur tout n de IN: fof(n)=n+3
1)demontrer que pour tout n de IN:f(n+3)=f(n)+3
2)demontrer que pour tout k de IN et pour tout n de IN:
f(n+3)=f(n-3k)+3k+3
3)supposons que f(0)=2006
calculer f(2007)
4)supposons que f(1)=2
calculer f(2008)

Merci ^^

1) Soit n de N
fofof(n) = fof(f(n)) = f(n)+3
fofof(n) = f(fof(n)) = f(n+3)
donc f(n+3) = f(n) + 3.

2) Remarquons que la question est fausse... en effet on doit avoit n>=3k...
Soit n de N. montrons la formule par recurrence finie sur k pour k allant de 0 à [n/3]. (c'est une récurrence tout à fait valable...)

pour k=0, c'est vérifié, question 1...
Supposons que c'est vérifié pour k et que k+1<=[n/3]
f(n+3) = f(n-3k)+3k+3
or f(n-3k) = f(n-3(k+1)+3) = f(n-3(k+1)) + 3 d'apres 1.
finalement f(n+3) = f(n-3(k+1)) + 3(k+1) +3.
On a bien prouvé la reccurence finie...

3) f(2007) = f(2004+3) = f(2004 - 3*668) + 3*668 + 3
f(2007) = f(0) + 3*669 = ...

4) pareil que 3)