morphisme de corps

Soient K et L deux corps et f un morphisme de corps de K dans L .Montrer que f est injective

Mahdi a écrit:

Soient K et L deux corps et f un morphisme de corps de K dans L .Montrer que f est injective

Re-BSR Mahdi !!
Soient a et b deux éléments de K tels que f(a)=f(b) ALORS :
f(a-b)=O ( Neutre dans L ) (*)
Si a-b était différent de O ( Neutre dans K ) alors a-b serait inversible et il existerait t dans K tel que t.(a-b)=1 ( Unité dans K )
cela entrainerait que f{t.(a-b)}=f(t).f(a-b)=f(1)=1 ( Unité dans L ) et par suite f(a-b) serait INVERSIBLE dans L donc serait DIFFERENT de O
et ceci contredit (*)
par conséquent , on a bien a=b.
Un morphisme de corps est AUTOMATIQUEMENT injectif !!!
A+ LHASSANE

Une autre façon ("savante") est de dire que le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal et qu'un corps n'a pas d'idéaux propres.

bien vu