problème N°112 de la semaine (17/12/2007-23/12/2007)

salut
chaque participant doit poster sa solution ( format word ) par E-MAIL
amateursmaths@yahoo.fr
(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Solution
solution de ThSQ
Bonjour Samir,

Quitte à translater le triangle on peut supposer que les coordonnées des sommets sont (0,0), (a,b) et (c,d).
A = a² + b²
B = c² + d²
C = (a-c)² + (b-d)²
Le triangle est équilatéral ssi A=B=C

Alors (A+B-C)² - A*B = 0 ce qui peut se réécrire 3*(a*c+b*d)² = (ad-bc)² ce qui est impossible car sqrt(3) est irrationnel et (a*c+b*d) != 0

solution postée
(solution non trouvée)

3id mobarek sa3id,
solution posted
solution de selfrespect
salut Mr samir:
soit ABC un tel triangle :
|sin(AB,AC)|=|AB.AC|/(||AB||||AC||) (/)
==> rac(3) est rationnel !
il n'existe po un tel triangle
a+

Bonjour
Solution postée
solution d'abdelbaki.attioui
Dans un repère orthonormé, soit (ABC) un triangle équilatéral non réduit à un point.
Les points A, B et C ont (resp) pour coordonnées (a,a'), (b,b') et (c,c') .
Soient u=vecteur(AB) et v=vecteur(AC).
==> |det(u,v)|=||u||.||v||.|sin(u,v)|
==> racin(3)=2|(b-a)(c'-a')-(c-a)(b'-a')|/[(b-a)²+(b'-a')²]
Comme racine(3) est irrationnel, il n'existe pas alors de triangle non réduit à un point
dont les coordonnées sont tous entières.
A+
Bonne fête
A+

postée
(solution non trouvée)

salam ;3id moubarak sa3ib
solution postée
ps(ne tenir compte que de la derniere reponse car l autre est trop longue)
solution de o0aminbe0o
supposons que A(a,x) , B(b,y) et C(c,z) vérifient les conditions de l'exo
on a tan(<ABC)=(det(vec(BA),vec(BC))/(vec(BA).vec(BC))
=((a-b)(z-y)-(x-y)(c-b))/((a-b)(x-y)+(c-b)(z-y))
{a,b,c,x,y,z}£IN^6 donc ((a-b)(z-y)-(x-y)(c-b))/((a-b)(x-y)+(c-b)(z-y))£Q
d autre part tan(<ABC)=rac(3) (ABC equilaterale)
donc rac(3)£Q CONTRADICTION
d où l inexistence de ces trois points vérifiant les conditions de l exo.

solution postee
solution de mohamed_01_01
en considere ABC qui verfier ces condition
on a
rac3/2=sin(AB;AC)=det(vec(AB);vec(AC))/(AB*AC)
=det(vec(AB);vec(AC))/AB²
det(vec(AB);vec(AC)=(xb-xa)(yx-ya)-(xc-xa)(yb-ya)£Z
AB²=(xa-xb)²+(yb-ya)²£N
donc rac3/2£Q d'ou la contradiction

slt tt le monde

solution postée par mp
(solution non trouvée)

salam

solution postée
(solution non trouvée)

salut tt le monde
3idkom mobarak
Solution postée
solution de mansouri

Salut!
Solution postée.
solution de kendor
Soient A, B, C de coordonn¨¦es enti¨¨res tels que (ABC) soit ¨¦quilat¨¦ral direct.
Soit t la translation de vecteur AO.
t(B)=B¡¯ et t(C)=C¡¯.
B¡¯ et C¡¯ sont de coordonn¨¦es enti¨¨res.
Soit r la rotation de centre O et d¡¯angle 60¡ã.
r(B¡¯)=C¡¯.
Si B¡¯ a pour coordonn¨¦es (x, y), alors C¡¯a pour coordonn¨¦es (x¡¯, y¡¯) telles que :
x¡¯=xcos60-ysin60
y¡¯=xsin60+ycos60

Donc x¡¯=x/2-y¡Ì3/2 et y¡¯=x¡Ì3/2+y/2
x¡¯ et y¡¯ ¨¦tant entiers,x et y v¨¦rifient :
x-y¡Ì3 et x¡Ì3+y entiers
Donc y¡Ì3 et x¡Ì3 entiers
Donc ¡Ì3 est rationnel, ce qui est faux.

Donc il n¡¯existe pas de triangle ¨¦quilat¨¦ral dont les sommets sont des entiers de Gauss.
Ciao,à +!
Kendor