salut:
> je crois qu il ya une erreure on a seulemnt le sens <==
si 1/a=n (entier)
alors a=1/n
(<===) on peut mm montrer que f(x+1/n)=f(x) admet une solution dans R (qq soit n dans N):
en effet , classiquemet on pose g(x)=f(x)-f(x+1/n)(definie sur [0;1-1/n]=I)
g(1-1/n)=f(1-1/n)-f(1)
=f(1-1/n)-f(0)=(f(1-1/n)-f(1-2/n))+(f(1-2/n)-f(1-3/n))+...+(f(1/n)-f(0))
=-g((n-1)/n)-g(((n-2)/n)-...-g(1/n)-g(0)
==>g(0)+g(1/n)+..+g((n-1)/n)=0 *
mnt g continue sur I;
si elle sannulle alors le pb est reglé
sinon g gardera un signe constant sur I , et * le contredit !!.
(==>) mnt soit a un reel :
on suppose qq soit f continue tq f(0)=f(1) ,
f(x+a)=f(x) admet au moins une solution dans R,
soit f(x)=sin(pi.x)
ceçi verifie bien les données !
alors selon lhyp , f(x+a)=f(x) admet un zero dans R ==>
on trouve enfin que a est un entier et "rien de plus" !! .
a+
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