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Sujet: Matrices de rang r Sam 22 Déc 2007, 12:04
On considère l’e.v.n. M_n(IR) muni d’une norme arbitraire. 1) Montrer que GL_n(IR) est un ouvert dense de M_n(IR) 2) Montrer que E_r ={A €M_n(IR) ; rg(A)6r} est fermé dans M_n(IR). 3) Montrer que F_r= {A €M_n(IR) ; rg(A)> r} est un ouvert dense de M_n(IR). 4) Montrer que E_r est l’adhérence de R_r= {A €M_n(IR) ; rg(A)= r}.
ThSQ Maître
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Sujet: Re: Matrices de rang r Sam 22 Déc 2007, 16:07
Toujours très intéressants les exos de cette section !!
1) Le déterminant est une application continue. IR* est ouvert et GL_n(IR) = det^{-1}(R*). Donc GL_n(IR) est ouvert.
Soit M de rang r. M = P I_r Q avec P et Q inversible et I_r = la matrice avec 'r' 1 sur la diagonale et des zéros ensuite. Si J_r est la matrice avec 'r' zeros puis (n-r) 1 sur la diagonale alors M_m = P (I_r + J_r/m) Q est inversible et M_m -> M.
Donc GL_n(IR) est dense.
2) "rg(A)6r" ? Une erreur de frappe ?
3) F_r est dense car il contient GL_n(R) lui-même dense.
rg(A) > r ssi tous les déterminants extraits de taille r sont non nulles. La fonction f : A -> \sum (déterminants extraits de taille r de A)² est continue et F_r = f^{-1}(]0;+°°[) est ouvert comme image réciproque d'un ouvert.
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