Matrices de rang r

On considère l’e.v.n. M_n(IR) muni d’une norme arbitraire.
1) Montrer que GL_n(IR) est un ouvert dense de M_n(IR)
2) Montrer que E_r ={A €M_n(IR) ; rg(A)6r} est fermé dans M_n(IR).
3) Montrer que F_r= {A €M_n(IR) ; rg(A)> r} est un ouvert dense de M_n(IR).
4) Montrer que E_r est l’adhérence de R_r= {A €M_n(IR) ; rg(A)= r}.

Maître Nombre de messages : 181 Age : 34 Date d'inscription : 04/10/2007

Toujours très intéressants les exos de cette section !!

1) Le déterminant est une application continue. IR* est ouvert et GL_n(IR) = det^{-1}(R*). Donc GL_n(IR) est ouvert.

Soit M de rang r.
M = P I_r Q avec P et Q inversible et I_r = la matrice avec 'r' 1 sur la diagonale et des zéros ensuite.
Si J_r est la matrice avec 'r' zeros puis (n-r) 1 sur la diagonale alors M_m = P (I_r + J_r/m) Q est inversible et M_m -> M.

Donc GL_n(IR) est dense.

2) "rg(A)6r" ? Une erreur de frappe ?

3) F_r est dense car il contient GL_n(R) lui-même dense.

rg(A) > r ssi tous les déterminants extraits de taille r sont non nulles.
La fonction f : A -> \sum (déterminants extraits de taille r de A)² est continue et F_r = f^{-1}(]0;+°°[) est ouvert comme image réciproque d'un ouvert.

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