continuité

soient f et g deux fonctions définies de R*+ dans R tel que x--> f(x) et croissante et g x--> f(x)/x est décroissante

montrer que f et g sont continues

Très simple: vient du fait qu'une fonction monotone admet une limite partout...

Il suffit alors de comparer la limite à l'image en un point...

hamzaaa a écrit:

Très simple: vient du fait qu'une fonction monotone admet une limite partout...

Il suffit alors de comparer la limite à l'image en un point...

oui justement c'est pour les lycéens

Quoique il serait plus intéressant pour eux de justement prouver l'existence des limites avant de continuer l'exercice, même si c'est assez basique

soit x0 un réel strictement positif . montrons que lim f(x)= f(x0)
en x0 . pour tout x>x0 on f(x) >=f(x0) car f est croissante . donc limf(x) >=f(x0) en x0 + de meme on montre que limf(x) <=f(x0) en x0 - reste à montrer que la limite existe en x0 . posons l= limf(x) en x0 + et l'=limf(x) en x0 - et montrons que l = l'. on a aussi pour tout x>x0 : ( f(x) / x ) <= (f(x0)/x0) or lim ( f(x) / x ) = (l/x0) en x0 + donc l <=f(x0) donc l=f(x0) et avec toute aisance, on montre que l' = f(x0) d'où f est continue en x0 . il est évident de dire que g est continue sur R+* comme rapport de fonctions continues.