existence d'une limite

Bonjour,

Pour moi l'analyse remonte a long temps du coup je bloque pour des questions qui sont surement primaires....enfin pas pour moi.
La voici:

Montrer que la limite lorque a tend vers 0 de la fonction suivante existe:

sup{f([x-a,x+a])}-inf{f([x-a,x+a])} ou f est définit sur un intervalle I de IR et a valeurs réelles.

et que cette limite peut etre interprétée comme borne inf d'un ensemble.

merci de m'eclairer.

soit x un reel et posons u(a)=sup{f[x-a,x+a]}-inf{f[x-a,x+a]}
il est clair que u(a)>=0 (1)
et si |b|>=|a| alors [x-a,x+a] est inclu ds [x-b,x+b]
dou f[x-a,x+a] est inclu ds f[x-b,x+b]
cad sup{f[x-b,x+b]}>=sup{f[x-a,x+a]} et inf{f[x-b,x+b]}<=inf{f[x-a,x+a]}
dou u(b)>=u(a) ski veu dir que u(a) decroit lorsque a tend vers 0 (2)
de (1) et (2) on deduit que u(a) admet une limite en 0

Merci Anouar!