max(a,b,c)

soit a,b et c des réels strictement positifs tels que : a+b+c=abc
montrer que : max(a,b,c) est sup à rac(3)

a+b+c=abc et a,b,c>0 => a=tan(a') , b=tan(b') et c=tan(c') avec a'+b'+c'=pi et a',b'c'>0
par symetrie des roles prenons a'>=b'>=c'
donc a'>=pi/3
doù tan(a')>=rac(3)
=> max(tan(a'),tan(b'),tan(c'))>=rac(3)
=> max(a,b,c)>=rac(3)

a>=b>=c =>a+b+c>=3c <=> abc >=3c <=>a²>=ab>=3
=> a>=rac3