Arithmetiko

Montrer que si a1 a2 .... an sont premiers entre eux deux a deux alors ppcm(a1,........,an)=produit des ai

Mahdi a écrit:

Montrer que si pgcd(a1,a2,.............,an)=1 alors ppcm(a1,........,an)=produit des ai

pas trop sur pgcd(2,3,4)=1 et ppcm(2,3,4)=4*3

il faut seulement montrer que
pgcd(a1,a2,.............,an)ppcm(a1,........,an)=produit des ai

c'est rectifié ! aller

supposons qu il existe un a_k tel que ce a_k est different de 1 et -1 ,et qui nest pas present parmi le produit des a_i
en dautre tremes ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n)
on sait que a_k/ppcm(a_1*...*a_n)
donc a_k/a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1) => pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=la_kl (*)
dautre part on a a1 a2 .... an sont premiers entre eux
donc pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=1(**)
ainsi de (*) et (**) la_kl=1 contradiction avec le fait que la_kl=/1
donc il n existe aucun a_k tel que ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n) et la_kl=/1
ainsi ppcm(a1,........,an)=a_1*...*a_(n)
jesere que cest assez clair ...

en tout cas cest un lemme dont il faut s'en souvenir

o0aminbe0o a écrit:

supposons qu il existe un a_k tel que ce a_k est different de 1 et -1 ,et qui nest pas present parmi le produit des a_i
en dautre tremes ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n)
on sait que a_k/ppcm(a_1*...*a_n)
donc a_k/a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1) => pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=la_kl (*)
dautre part on a a1 a2 .... an sont premiers entre eux
donc pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=1(**)
ainsi de (*) et (**) la_kl=1 contradiction avec le fait que la_kl=/1
donc il n existe aucun a_k tel que ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n) et la_kl=/1
ainsi ppcm(a1,........,an)=a_1*...*a_(n)
jesere que cest assez clair ...

Mahdi a écrit:

o0aminbe0o a écrit:

supposons qu il existe un a_k tel que ce a_k est different de 1 et -1 ,et qui nest pas present parmi le produit des a_i
en dautre tremes ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n)
on sait que a_k/ppcm(a_1*...*a_n)
donc a_k/a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1) => pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=la_kl (*)
dautre part on a a1 a2 .... an sont premiers entre eux
donc pgcd((a_k),a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1))=1(**)
ainsi de (*) et (**) la_kl=1 contradiction avec le fait que la_kl=/1
donc il n existe aucun a_k tel que ppcm(a_1*...*a_n)=a_1*...*a_(k-1)*a_(k+1)*...*a_(n) et la_kl=/1
ainsi ppcm(a1,........,an)=a_1*...*a_(n)
jesere que cest assez clair ...

quest ce qui nest pas clair...

on peu utiliser seulement la recurrence
je pense