- iverson_h3 a écrit:
- slt tt le monde !!!!!!!!!
determinez toutes les fonctions f: R->R tel que :
f(xy+f(x))=xf(y)+f(x)
@+
Bonjour Iverson_h3,
Soit P(x,y) la propriété f(xy+f(x))=xf(y)+f(x).
Soit a=f(0)
P(0,y) implique f(a)=a
P(a,-1) implique a=af(-1)+a et donc af(-1)=0 donc a=0 ou f(-1)=0
Si f(-1)=0, P(-1,0) implique a=-a et donc a=0
Donc, dans tous les cas, a=0
P(x,0) implique alors f(f(x))=f(x)
P(f(x),x) implique alors f(f(x)x+f(x))=f(x)^2+f(x)
P(x,f(x)) implique alors f(xf(x)+f(x))=xf(x)+f(x)
Et donc f(x)^2=xf(x)
Et donc, pour tout x, f(x)=0 ou f(x)=x.
On constate que f(x)=0 pour tout x et f(x)=x pour tout x sont bien des solutions.
Il reste à voir s'il existe des solutions dans lesquelles f(x)=0 pour certains x et f(x)=x pour les autres :
Supposons alors une solution pour laquelle il existe un x0 non nul tel que f(x0)=x0 et un y tel que f(y)=0
P(x0,y) implique alors f(x0y+x0)=x0
Mais f(x0y+x0) doit valoir 0 ou x0y+x0.
0 est impossible puisque on a supposé x0 non nul.
Donc x0y+x0=x0 et donc y=0.
Les deux seules solutions sont donc
f(x)=0 pour tout x
f(x)=x pour tout x
--
Patrick
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