(2^n-1)(3^n-1) = m^2

Résoudre dans N² :
(2^n - 1) * (3^n - 1) = m².

Bel exo qui m'a occupé une bonne partie de la journée (c'est malin .... )

n=0 est solution. n > 0 désormais.

m est pair et en regardant mod 4 : n est pair n = 2N.

S'il y a une solution alors 2^n-1 = aA² et 3^n-1 = aB² où a est "sans carrés" et impair.

On a donc deux équations de Pell :
(2^N)² - aA² = 1
(3^N)² - aB² = 1

On sait qu'il y a toujours des solutions à x² -ay² = 1 (fractions continues ...) et qu'elles sont obtenues à partir d'une fondamentale (u,v) et par u(n)+v(n)*sqrt(a) = (u+v*sqrt(a))^n

u(n) et v(n) sont alternativement pairs et impairs pour des questions de parité.
On a aussi u(2n) = 2*u(n)²-1

2^N = u(k)+v(k)*sqrt(a)
3^N = u(l)+v(l)*sqrt(a)

Ou bien k ou l est pair.

Si k est pair = 2*K, u(k) = 2*u(K)²-1 impossible
Donc l est pair = 2*L et u(l) = 2*u(L)²-1 = 3^N

Et là on a (enfin ...) notre contradiction car l'équation 2x²-1 n'a pas de solution modulo 3.


=> seule solution n=0

ThSQ a écrit:

Bel exo qui m'a occupé une bonne partie de la journée (c'est malin .... )

mathman, pour vous servir

Jolie solution.