- amine2007 a écrit:
- trouver toues les fonctions f de R dans R continues vérifiant:
Pour tout (x,y)de R^2 f(x+y)f(x-y)=(f(x)f(y))^2
Bonjour Amine2007,
1) f(x)=c est solution ssi c est dans {0,-1,+1}.
Intéressons nous maintenant aux solutions non constantes
2) Constatons d'abord que f est de signe constant : en effet, si f(u)>0 et f(v)<0, alors il y a contradiction avec f(u)f(v)=(f((u+v)/2)f((u-v)/2)))^2>=0
Constatons ensuite que si f est solution, -f l'est également.
3) Nous pouvons donc nous intéresser uniquement aux fonctions f non constantes telles que f(x)>=0 pour tout x.
Soit alors x tel que f(x) non nul (on ne s'interesse qu'aux fonctions non constantes) et y=0. On a : f(x)^2=f(x)^2f(0)^2 et donc f(0)=1
Notons que f(x)f(-x)=f(x)^2 et que f est donc paire
Soit alors x tel que f(x) non nul. On a :
f(2x)f(0)=f(x)^2f(x)^2 et donc f(2x)=f(x)^4
f(3x)f(x)=f(2x)^2f(x)^2 et donc f(3x)=f(x)^9
f(4x)f(0)=f(2x)^4 et donc f(4x)=f(x)^16
et, par récurrence facile f(nx)=f(x)^(n^2)
De même, si f(x)=0, on a :
f(2x)f(0)=f(x)^2f(x)^2 et donc f(2x)=0
Si, alors, il existe des f(nx) non nuls, soit p le plus petit entier positif tel que f(px) soit non nul. On a bien sûr p>2. On a alors f(px)f((p-2)x)=f((p-1)x)f(x)=0 et donc f((p-2)x)=0, ce qui est impossible.
Donc f(x)=0 implique f(nx)=0.
Donc f(nx)=f(x)^(n^2) pour tout x
Donc f(x/n)= f(x)^(1/n^2)
Donc f(xp/q)=f(x)^((p/q)^2)
Donc f(p/q)=a^((p/q)^2) (où a=f(1))
Donc f(x)=a^(x^2) pour tout x rationnel positif
Donc f(x)=a^(x^2) pour tout x rationnel puisque f est paire
Donc f(x)=a^(x^2) pour tout x réel par continuité
Il est alors facile de véfier que ces conditions nécessaires sont suffisantes.
Les solutions sont donc :
f(x)=0 pour tout x
f(x)=a^(x^2) pour tout x, a réel >0 (a=1 donne la solution f=1)
f(x)=-a^(x^2) pour tout x, a réel >0 (a=1 donne la solution f=-1)
--
Patrick,
qui a trouvé ce problème joli
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