f(I)=R

Bonjour :

je connais une fonction qui verifie cette propriété et qui est discontinue partout !!

Pour la définir , on utilise le developpement p-adique d'un réel et on associe à $x$ réel son image en fonction des $a_n$ entiers intervenant dans ledit developpement
....

je n'ai pas le temps de la détailler mntn mais je ferai peut etre une autre fois

L'importe quelle solution non continue de l'équation de Cauchy.

aannoouuaarr a écrit:

montrer qu'il existe une fonction f:R-->R verifiant f(I)=R pour tout interval I de R

Intervalle non réduit à un point.

Soit (r_n) la suite des rationnels. Pour tout entier m, Il existe ( c'est facile ,penser à la fonction tangante) une bijection f_(n,m) entre
I_(n,m)=]r_n+1/(m+1),r_n-1/(m+1)[ et IR.

Tout intervalle I non réduit à un point contient au moins un I_(n,m).
....

Le pb c'est que les I_(n,m) ne forme pas une partition des IR, non ?
La fonction est-elle définie de manière unique ? Je crois pas.

wé bien sur que I n'est pas reduit a un singleton...
en effet voici la fonction que j'ai construit:
d'abord on sait que chaque nombre reel peut s'ecrire dans la
base 2 de la forme (n,a1a2a3..... ) avec n un entier naturel et
les (ai) appartiennent a {0,1} .
posons u(x)=lim gi(x)/i (qd i-->l'infini ) si elle admet une limite
sinon u(x)=0
avec gi(x)=a1+a2+...+ai (où x=n,a1a2....)
la fonction est f(x)=1/(1-u(x)) - 1/u(x) si u(x)#0et1 et f(x)=0 sinon

la preuve est trop longue jvé essayer de la poster un jour.