inega facile

x, y, z et t sont des réels strictement positifs et vérifiant :
x² + y² ≤ 1 et z² + t² ≤4
Démontrer que xz + yt ≤ 2

abdou20/20 a écrit:

x, y, z et t sont des réels strictement positifs et vérifiant :
x² + y² ≤ 1 et z² + t² ≤4
Démontrer que xz + yt ≤ 2

salut d'après Cauchy shwarz il vient que:

(x²+y²)(z²+t²) >= (xz+yt)²

<=> 4>=(xz+yt)² <=> xz+yt<=2

A+

oui cest ca tres bien moi aussi jai faitla meme metode

je pense que sans cauchy-swharz est mieux:

ona : (x²+y²)(z²+t²)<=4

<=> x²z²+x²t²+y²t²+y²z²<=4

<=> (xz+yt)² +(xt-yz)² <=4

<=> (xz+yt)²<=4 ==> xz+yt<=2

2xyzt=< x²t²+y²z² ==> x²z²+y²t²+2xyzt=<x²z²+x²t²+y²t²+y²z²
x²z²+x²t²+y²t²+y²z²=(x²+y²)(z²+t²)
==> (xz+yt)²=<(x²+y²)(t²+z²)=<4
On conclut

L'autre méthode est une application directe de C.S

Salut

neutrino a écrit:

je pense que sans cauchy-swharz est mieux:

ona : (x²+y²)(z²+t²)<=4

<=> x²z²+x²t²+y²t²+y²z²<=4

<=> (xz+yt)² +(xt-yz)² <=4

<=> (xz+yt)²<=4 ==> xz+yt<=2

Neutrino je pense que la ligne en rouge a besoin du séparation des cas !!
NoN
A+ Mehdi

cauchy-swharz
on l'a po encore vu alors on n'as po le doit de l'utiliser au moins ac le prof!

mehdibouayad20 a écrit:

Salut

neutrino a écrit:

je pense que sans cauchy-swharz est mieux:

ona : (x²+y²)(z²+t²)<=4

<=> x²z²+x²t²+y²t²+y²z²<=4

<=> (xz+yt)² +(xt-yz)² <=4

<=> (xz+yt)²<=4 ==> xz+yt<=2

Neutrino je pense que la ligne en rouge a besoin du séparation des cas !!
NoN
A+ Mehdi

?? x²+y²<=1 et z²+t²<=4 et puisque (x²,y²,z²,t²) £ R+ ==> (x²+y²)(z²+t²)<=4

dsl jé po vu ² wlah! I'm so sorry! s7abli ghi x y z

votre réponse ai joli surtout la simple mé celle de cauchy-swharz car jé po compris le principe de cette inégalité!
A+ Mehdi

mehdibouayad20 a écrit:

votre réponse ai joli surtout la simple mé celle de cauchy-swharz car jé po compris le principe de cette inégalité!
A+ Mehdi

merci Mehdi , si a1,a2,a3,......an et b1,b2,b3..........bn , des rééls positifs ona alors

(a1²+.........an²)(b1²+..........bn²) >= (a1b1+...............anbn)² c sa l'inégalité de cauchy shwarz

merci cé tré simple ca! wlah! ci hyper bien!
Merci infiniment mon ami
A+ Mehdi