Application:tangente

Salut ^^
Qui pourra me demontrer que l'application tan est une bijection entre ]-pi/2;pi/2[ et IR.
c'est bien visible geometriquement en dessinant la courbe de tan mais algebriquement je sais pas comment..
Merci ^^
A+

salut sami
je ne suis pas sur mais je crois que parce que la tg(x)=y est une équation qui n'aura qu'une solution dans ]-pi/2,pi/2[ donc l'application est bijective de ]-pi/2,pi/2[ vers R

huntersoul a écrit:

salut sami
je ne suis pas sur mais je crois que parce que la tg(x)=y est une équation qui n'aura qu'une solution dans ]-pi/2,pi/2[ donc l'application est bijective de ]-pi/2,pi/2[ vers R

il faut démmontrer

vous verrez cela en terminal
vous utiliserez la proprieté
si f est continue et monotone , alors f est une bijection

pour info , la réciproque est la fonction Arctan

ncha2lah Merci pr les info!
A+ Mehdi

Salut
Merci les amis ^^
Pour Mehdi on a fais ce theoreme en classe comme complement de cours,mais on l'a abordé d'une maniere génerale ^^ cependant pour la definition d'une fonction continue il faut attendre encore
donc patience...
A+

Merci c'est gentil pr l'éclaircissement!
A+ Mehdi

slt sami je pnse que g deja vbu coom cet exo je vé cherher si je l'ai trouvé je te donne la solution A+

sami a écrit:

.......
Qui pourra me demontrer que l'application tan est une bijection entre ]-pi/2;pi/2[ et IR.
c'est bien visible geometriquement en dessinant la courbe de tan mais algebriquement je sais pas comment..........

Je vais m'y essayer avec des choses de votre niveau !!!
Tout d'abord , la fonction Tan étant IMPAIRE , il suffira de prouver que c'est une BIJECTION de [0;Pi/2[ sur [0;+oo[
1) INJECTIVITE : soient a , b dans [0;Pi/2[ tels que Tan(a)=Tan(b)
alors {sina/cosa}={sinb/cosb} donc sina.cosb - sinb.cosa =0
vous reconnaissez là sin(a-b)=0 et de là a-b=0 soit a=b car :
-Pi/2 < a-b < Pi/2 ;
2) SURJECTIVITE : soit t dans [0;+oo[ on doit montrer que l'équation t=Tanx admet au - une solution ????
Etudions la fonction u : x -----> u(x)=sinx - t.cosx sur [0;Pi/2]
on a u'(x)=cosx + t.sinx
Il est clair que u' est positive donc u est CROISSANTE continue passe de la valeur u(0)=-t négative à u(Pi/2)=1 donc doit s'ANNULER entre 0 et Pi/2 en une valeur c ce qui donnera u(c)=0 donc Tanc=t .

A+ LHASSANE

BOURBAKI a écrit:

sami a écrit:

.......
Qui pourra me demontrer que l'application tan est une bijection entre ]-pi/2;pi/2[ et IR.
c'est bien visible geometriquement en dessinant la courbe de tan mais algebriquement je sais pas comment..........

Je vais m'y essayer avec des choses de votre niveau !!!
Tout d'abord , la fonction Tan étant IMPAIRE , il suffira de prouver que c'est une BIJECTION de [0;Pi/2[ sur [0;+oo[
1) INJECTIVITE : soient a , b dans [0;Pi/2[ tels que Tan(a)=Tan(b)
alors {sina/cosa}={sinb/cosb} donc sina.cosb - sinb.cosa =0
vous reconnaissez là sin(a-b)=0 et de là a-b=0 soit a=b car :
-Pi/2 < a-b < Pi/2 ;
2) SURJECTIVITE : soit t dans [0;+oo[ on doit montrer que l'équation t=Tanx admet au - une solution ????
Etudions la fonction u -----> u(x)=sinx - t.cosx sur [0;Pi/2]
on a u'(x)=cosx + t.sinx
Il est clair que u' est positive donc u est CROISSANTE continue passe de la valeur u(0)=-t négative à u(Pi/2)=1 donc doit s'ANNULER entre 0 et Pi/2 en une valeur c ce qui donnera u(c)=0 donc Tanc=t .

A+ LHASSANE

il n ont pas encore vu la dérivée je pense ...

Oui on vient à peine de commencer les limites
Mais merci quand même ^^
A+

re sami voici la reponse
soit x et y de ]pi/2;-pi/2[
supposons que F(x)=F(y)
demontr que x=y
tg(x)=tg(y)
==>x=y+kpi/k£Z
on a -pi/2<x<pi/2
==>-pi/2<y+kpi<pi/2 (1)
et on a -pi/2<-y<pi/2 (2)
(1)+(2)==> -pi<kpi<pi
==>-1<k<1
==>k=0
==> tg tabayoni
A+