supplémentaires

soit F l'ensemble des fonctions f de R dans R dérivables et à dérivé continue(C1(R,R)) telles que f'(o)=o
Trouver G tel que F(+)G=C1(R,R)

BSR amine2007 !!
Considère l'application Phi de C1(R,R) dans IR définie par :
Phi(f)=f'(0) .
C'est une application linéaire ( Forme Linéaire ) :
1) Surjective : pour tout a dans IR donné , il existe un élément f de C1(R,R) tel que Phi(f)= a il suffira de considérer par exemple l'application f de IR dans IR définie par f(x)=3.x^2+ax qui répond à la question .
2) Son noyau KerPhi est précisément le sev F de C1(R,R) par construction !!
L'espace vectoriel quotient C1(R,R)/F est isomorphe à IR et donc F est de codimension 1.
Ainsi F posséde un supplémentaire dans C1(R,R) de dimension 1.
Soit H={h dans C1(R,R); h(x)=ax pour tout x réel , a dans IR}
Il est clair que :
F inter H={0} : si h de H est dans F alors nécessairement h'(0)=a=0 d'ou h=0
En outre , tout élément f de C1(R,R) s'écrit de manière standart sous la forme f= g + h
avec g : x--------->f(x) -x.f'(0) est dans F et
h : x--------------->x.f'(0) est dans H

A+ LHASSANE

oui merci;
je pense qu'on pourra faire une démo plus courte en prenant simplement G l'espace engendré par une fonction g qui vérifie g'(0) différent de 0 ..n'est ce pas?
exemple:<exp> ou <sin> ...conviennent.

amine2007 a écrit:

oui merci;
je pense qu'on pourra faire une démo plus courte en prenant simplement G l'espace engendré par une fonction g qui vérifie g'(0) différent de 0 ..n'est ce pas?
exemple:<exp> ou <sin> ...conviennent.

BJR amine2007 !!!
Ma Démo ne souffre d'aucun défaut !!!!
J'ai dit que H est de dimension 1 et toi , tu en prends une base c'est tout !!
J'utilise les INGREDIENTS d'Algèbre Linéaire connus des gens de Prépas.
Plus court ???!!! Ca se discute .....
Moi , j'étais enseignant à l'Université et là bas je n'étais pas avare d'explications. C'était mon métier .....
A+ LHASSANE

ok je suis désolé, ...mais je pense que vous m'avez mal compris, je n'ai pas dis qu'il y a un défaut .

amine2007 a écrit:

ok je suis désolé, ...mais je pense que vous m'avez mal compris, je n'ai pas dis qu'il y a un défaut .

J'ai très bien compris et tu n'as dit AUCUN MAL !!
Mais je ne peux pas faire + court en terme de Démo !!!
Il y a tout dedans !!
A+ LHASSANE