S.O.S

calculer la limite de S(x) quand x tend vers +infini
S(x)=somme de (f(t)-2t)dt de rac(x) à rac(x+1) pout tt x>1
f(t)=2t(1+(a/lnt)) a£R*
le plus vite possible svp

BJR $arah !!!!
Simple suggestion !!
Tu ne peux pas calculer une primitive de la fonction
g(t)=f(t)-2t=2a. {t/Ln(t)} Cé plutôt dur !!!
Cependant , tu peux utiliser la Deuxième Formule de la Moyenne si vous l'avez vu bien sûr !!! Voir ICI :
http://serge.mehl.free.fr/chrono/Bonnet.html

A+ Si nécessaire !!! LHASSANE

Cette Seconde Formule de la Moyenne , tu vas l'appliquer aux deux fonctions :
u :t--------> u(t)=2a.t
et
v :t--------> v(t)=1/Ln(t)
sur l'intervalle [racx;rac(x+1)]
u est continue positive et v continue donc , selon cette Formule :
il existe c compris entre racx et rac(x+1) tel que
somme de u.v.dt de racx à rac(x+1)=
{v(c)}.somme de u.dt de racx à rac(x+1)
=v(c).a
soit :
S(x)=somme de (f(t)-2t)dt de rac(x) à rac(x+1)=
{1/Ln(c)}.a
Or racx<=c<=rac(x+1)
d'ou Ln(racx)=(1/2).Lnx<=Ln(c)<=Ln(rac(x+1))=(1/2)Ln(x+1)
par suite , on obtient l'encadrement suivant de S(x) :
2a/Ln(x+1) <= S(x)<=2a/Ln(x)
et de là tu déduis la limite en utilisant le Th. des Gendarmes
Lim S(x)=0 lorsque x----->+oo
Pensant t'avoir aidée !!
Evidemment cet encadrement est vrai si a>0 , tu pourras l'adapter au cas ou a<0 sans difficultés !!
A+ LHASSANE

BSR $arah !! Comme promis !!!!
Pour cet Exo , j'ai trouvé quelquechose de plus simple pour Toi !!!
On pourra supposer a>0 pour travailler .
On note g la fonction
t-------->g(t)=f(t)-2t=2a. {t/Ln(t)} définie sur D=]0;+oo[
g est définie et continue sur D donc y est intégrable .
Soit G une primitive de g sur D alors on pourra écrire si x >=1
S(x)=somme de g(t) dt de rac(x) à rac(x+1)
=G(rac(x+1)) - G(racx)
Utilisons maintenant le TAF appliqué à la fonction G sur l'intervalle [racx ; rac(x+1)]
Il existera un c compris entre racx et rac(x+1) tel que
G(rac(x+1)) - G(racx)={rac(x+1) - racx}.G'(c)={1/{rac(x+1)+racx}}.G’(c)
Or G'(c)=g(c)=2a. {c/Ln(c)}
Par conséquent :
S(x)=G(rac(x+1)) - G(racx)=.2a. {c/Ln(c)}/{ rac(x+1)+racx }
Si on ne perd pas de vue que racx<=c<=rac(x+1) alors Ln(racx)<=Ln(c)<=Ln(rac(x+1))
d’où 1/Ln(rac(x+1))<=1/Ln(c)<=1/Ln(racx)
Puisque x>1 , tous ces réels sont positifs et donc on pourra regrouper pour écrire l’encadrement suivant :
2a. rac(x)/Ln(rac(x+1))<= 2a. {c/Ln(c)} <=2a..rac(x+1)/Ln(racx)
puis celui-ci :
2a. {rac(x)/{ rac(x+1)+racx }}.{1/Ln(rac(x+1))}<= S(x) <=2a. {rac(x+1)/{ rac(x+1)+racx }}.{1/Ln(racx)}

Il est facile de verifier que :
Lim {rac(x)/{ rac(x+1)+racx }.{1/Ln(rac(x+1))} =0 et
Lim {rac(x+1)/{ rac(x+1)+racx }}.{1/Ln(racx)} =0 lorsque x---> +oo
Par suite S(x) ------> 0 lorsque x------> +oo
A+ LHASSANE

Où t'as trouvé cet exo Sarah ??

devoir maison de notre prof

vous avez fait l integrale Sarah?

non pas encore !!!!!!!!!!!!!!!!