ari

SLT!!

a et b de N
trouver a et b tel que :a+b=162
:a et b ont 6 diviseurs communs

on pose a^b=d=>a=xd et b=yd avec x^y=1
=>d(x+y)=3^4*2
=>d£{1,2,3,3²,3^3,3^4,2*3,2*3²,2*3^3,2*3^4}
et comme a et b on 6 diviseurs communs , alors d a 6diviseurs
et on repere vite que d=2*3²=18(les diviseurs sont 1,2,3,3²,2*3,2*3²)
=>x+y=9
faire une disjonction de cas...

Les diviseurs de 162 sont 1,2,3,6,9,18,27,54,81,162, il y'a donc 10 diviseurs (sauf erreur).
a et b ne peuvent être égaux à 162 (si a l'est, b=0, alors a et b ont plus de 6 diviseurs communs).

Les diviseurs communs de a et b divisent aussi 162, donc ces 6 diviseurs appartiennent à l'ensemble {1,2...,162}

1 fait partie de la liste des diviseurs communs, le plus grand des autres diviseurs appartient à {18,27,54,81}

Si c'est 18: alors les diviseurs sont 1,2,3,6,9,18
162=18+8*18=2*18+7*18=....
et on choisit a et b parmi les k*18, par exemple a=18 et b=144 est une solution, 36 et 126 aussi

On procède de même avec les autres possibles diviseurs maximaux, en tâchant à chaque fois de déterminer la liste des diviseurs possibles.
Exemple, si le diviseur maximal est 27, alors 18 ne peut pas être diviseur de a et b, en effet s'il l'était, ses diviseurs 1,2,3,6,9 aussi, on aurait 7 diviseurs...

Voilà, c'est un peu long, mais relativement facile

EDIT: oula, en lisant la solution de amine, c'est vrai que 18 est le seul diviseur maximal possible, oublie la 2eme partie de ma solution (pff tellefna l'arithmétique lol^^)