limite

Calculer \lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{0}^{+\infty}|\sin(x)|^n e^{-x}dx

Je dirais pour ma part que dans cet exo posé par A.ATTIOUI , il ya un pb tout à fait bénin d'intégrale impropre certes ,mais le plus profond c'est un Gros et Puissant Théorème de La Théorie de La Mesure qui s'appelle:
Le Théorème de Convergence Dominée de Lebesgue .
Et cela , je pense qu'en Spé , cela se fait .
Merci à Vous Tous & Bonne Journée !!!!
LHASSANE

La série de fonctions (f_n) ou f_n est l'intégrande converge simplement vers la fonction f donnée par:
Si x=Pi/2+kpi f(x)=exp(-x)
Sinon f(x)=0

L'hypothèse de domination est assurée par la fonction exp(-x)...

On aboutirait à une limite nulle ^^

hamzaaa a écrit:

La série de fonctions (f_n) ou f_n est l'intégrande converge simplement vers la fonction f donnée par:
Si x=Pi/2+kpi f(x)=exp(-x)
Sinon f(x)=0

L'hypothèse de domination est assurée par la fonction exp(-x)...

On aboutirait à une limite nulle ^^

BJR hamzaaa!!!
Ta suite de fonctions intégrables {fn}n convergerait simplement vers la fonction nulle presque partout sur IR+* !!
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR hamzaaa!!!
Ta suite de fonctions intégrables {fn}n convergerait simplement vers la fonction nulle presque partout sur IR+* !!
A+ LHASSANE

Je viens de remarquer une petite erreur: pour x vérifiant sin(x)=-1, pas de convergence simple (le (-1)^n qui fait encore des siennes), il y'a donc bien convergence simple presque partout.

Hum le presque partout ne dérange pas au sens des intégrales de Lebesgue, mais je ne suis plus très sûr des hypothèses utilisées en prépa (cvs ou cvs presque partout?)

hamzaaa a écrit:

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR hamzaaa!!!
Ta suite de fonctions intégrables {fn}n convergerait simplement vers la fonction nulle presque partout sur IR+* !!
A+ LHASSANE

Je viens de remarquer une petite erreur: pour x vérifiant sin(x)=-1, pas de convergence simple (le (-1)^n qui fait encore des siennes), il y'a donc bien convergence simple presque partout.

Hum le presque partout ne dérange pas au sens des intégrales de Lebesgue, mais je ne suis plus très sûr des hypothèses utilisées en prépa (cvs ou cvs presque partout?)

L'ensemble des points de IR+* pour lesquels |sinx|=1 c'est exactement
E={(2k+1).Pi/2 , k dans N};
E est dénombrable donc négligeable et ta suite {fn}n converge presque partout vers la fonction nulle ( sur IR+*\E , {fn}n cs vers 0 ).
La fonction majorante presque partout c'est bien celle que tu as donnée et donc par Convergence Dominée de Lebesgue , la limite cherchée serait nulle.
A+ LHASSANE

C'est exactement ce que j'ai dit dans mon premier post, mais j'ai un doute concernant le programme de math spé, il se peut que le presque partout soit hors-programme.

En tout cas, l'exercice parait presque trop facile... ><

Bonjour ;

Si je ne me trompe , on peut montrer la nullité de cette limite d'une autre manière :

(*) Pour n£IN notons In l'intégrale de Wallis , on sait que lim In=0 .

(*) Pour n,k£IN notons un l'intégrale sur [0,+oo[ de la fonction positive x --> |sinx|^n.e^(-x)
et un,k l'intégrale sur [k.pi , (k+1).pi] de la même fonction , le changement de variable x --> x - k.pi donne
un,k=an.e^(-k.pi). où an est l'intégrale sur [0,pi] de la fonction x --> (sinx)^n.e^(-x)
on vérifie facilement que 0=< an =< 2.In et donc que lim an=0 ,
et comme un=an/(1-e^(-pi)) on conclut . (sauf erreur bien entendu)

BJR Mr Abdelali !!!
Et vous ne vous êtes pas trompé du tout !!
C'est parfaitement clair , séduisant et à la portée des Sup !! Ce n'était pas évident de penser aux Intégrales de WALLIS .
Le Th. de Convergence Dominée de Lebesgue , c'est peut être trop pour les Prépas (??) pourtant ils étudient les Intégrales Multiples , Fubini , Fubini -Tonelli ...
Merci bcp pour cette Démo !!!
A+ LHASSANE

Merci de même Mr LHASSANE et à la prochaine !!