Discontinuité

Bonjour,

Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a,b[ de R et soit g une fonction définie sur un voisinage ]c,d[ de y0 dans R et discontinue en y0.

Montrer que si y0 est un point intérieur à f(]a,b[) alors gof (composition) est discontinue en un point x0 appartenant à ]a,b[ tel que f(x0) = y0.

Apparement la suggestion est d'utiliser le critère par les suites mais je n'y arrive vraiment pas.

Merci à tous pour votre aide.

N'oublie pas qu'une fonction f est discontinue en x ssi il existe une suite (xn) convergeant vers x telle que f(xn) ne converge pas vers f(x).

Oui j'y ai pensé mais je suis néanmoins complètement callé car le prof a parlé de passer aux sous-suites et de conclure et je ne vois vraiment pas comment...

Il existe eps>0 tel que
qqs eta>0 ( assez petit pour que (]y0-eta,y0+eta[ C]c,d[ )
tel que g(]y0-eta,y0+eta[) n IR\]g(y0)-eps,g(y0)+eps[ non vide

y0 est intérieur à f(]a,b[) ==>
Il existe r>0 tq [y0-r,y0+r] C f(]a,b[).
soit x0€]a,b[ tq f(x0)=y0

soit eta>0 , eta< r . il existe alors un alpha> 0
(assez petit pour que ]x0-alpha,x0+alpha[ C]a,b[ )tq
f(]x0-alpha,x0+alpha[) C ]y0-eta,y0+eta[

==>
(gof)(]x0-alpha,x0+alpha[) n IR\]g(y0)-eps,g(y0)+eps[ non vide

Merci bcp !

Pouvez-vous cependant m'expliquer la dernière ligne svp ? (la conclusion) merci.

BSR à Toutes et Tous !!

abdelbaki.attioui a écrit:

Il existe eps>0 tel que
qqs eta>0 ( assez petit pour que (]y0-eta,y0+eta[ C]c,d[ )
tel que g(]y0-eta,y0+eta[) C IR\]g(y0)-eps,g(y0)+eps[

y0 est intérieur à f(]a,b[) ==>
Il existe r>0 tq [y0-r,y0+r] C f(]a,b[).
soit x0€]a,b[ tq f(x0)=y0

soit eta>0 , eta< r . il existe alors un alpha> 0
(assez petit pour que ]x0-alpha,x0+alpha[ C]a,b[ )tq
f(]x0-alpha,x0+alpha[) C ]y0-eta,y0+eta[

==>
(gof)(]x0-alpha,x0+alpha[) C g(]y0-eta,y0+eta[)C IR\]g(y0)-eps,g(y0)+eps[

Je pense qu'il faudrait écrire :
<<g(]y0-eta,y0+eta[) non inclus dans ]g(y0)-eps,g(y0)+eps[ >>

Il y a là une erreur de LOGIQUE suivante :
A et B deux ensembles
écrire A non inclus dans B
n'est pas pareil que A et B sont disjoints .
Je pense que c'est cela que tu n'as pas compris !!
A+ LHASSANE

Ok ok..En fait c'est la continuité par les voisinages qui est mise en défault. Si gof était continue en x0 on aurait l'inclusion dans
]g(y0)-eps, g(y0) + eps] ce qui n'est pas le cas ici.

Est-ce correct ?

Merci pour tout en tout cas.

Oui ,damboy !!
C'est le travail avec les voisinages !
Tu peux tout aussi bien travailler avec les suites , seulement , je ne vois pas ou il serait question de sous-suite dans cette éventuelle démo que ton Prof te sussurre ???
A+ LHASSANE

Moi non plus.

J'espère ne pas abuser mais maintenant que j'ai une solution ma curiosité ne serait pas contre votre solution par les suites.
Ca m'interesse vraiment bcp.
Merci.

damboy a écrit:

......Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a,b[ de R et soit g une fonction définie sur un voisinage ]c,d[ de y0 dans R et discontinue en y0.
Montrer que si y0 est un point intérieur à f(]a,b[) alors gof (composition) est discontinue en un point x0 appartenant à ]a,b[ tel que f(x0) = y0....

Bon !! Allons y !!
Il existe r>0 tels que ]Yo-r;Yo+r[ soit inclus dans f(]a,b[)
Il existe une suite {yn}n de points de l'intersection de ]c;d[ et
]Yo-r;Yo+r[ convergente vers Yo et telle que {g(yn)}n ne converge pas vers g(Yo)
Yo est dans f(]a,b[) donc il existe Xo dans ]a;b[ tels que f(Xo)=Yo
De même , pour chaque entier n , yn=f(xn) pour un xn dans ]a;b[
MAINTENANT : la suite {xn}n est une suite INFINIE BORNEE de ]a;b[ selon l'axiome de Bolzano-Weieirstrass ( je crois ) , on peut en extraire une sous-suite {x(PHI(n)}n convergente vers un élément zo de ]a;b[
f étant continue sur ]a;b[ alors :
f(x(PHI(n))) converge d'une part vers f(zo)
D'autre part , comme c'est aussi une sous-suite de la suite {yn=f(xn)}n , elle converge aussi vers Yo=f(Xo)
Ainsi Yo=f(Xo)=f(zo)
Maintenant , il reste à composer avec g en espérant que cela fonctionnera!
Je continue de chercher la suite ....en attendant ta lecture puis le feed-back
A+ LHASSANE

"Yo est dans f(]a,b[) donc il existe Xo dans ]a;b[ tels que f(Xo)=Yo" -> Je comprends désormais alors la phrase "soit x0€]a,b[ tq f(x0)=y0" dans l'autre preuve qui vient en fait de "Il existe r>0 tq [y0-r,y0+r] C f(]a,b[)".

Je vais lire tout ça. Merci !!

Pardonner cette erreur .
Avec les suites la démo de Oeil_de_Lynx il se peut que la sous suite converge vers a ou vers b ! Là il y a un problème !

à suivre

BSR Mr Abdelbaki !!
En effet , je suis plutôt coincé là !!!
J'ai dit :
<< f(x(PHI(n))) converge d'une part vers f(zo)
D'autre part , comme c'est aussi une sous-suite de la suite {yn=f(xn)}n , elle converge aussi vers Yo=f(Xo)
Ainsi Yo=f(Xo)=f(zo)
Maintenant , il reste à composer avec g en espérant que cela fonctionnera! >>

La suite {gof(x(PHI(n)))}n qui est aussi {g(y(PHI(n))}n est extraite de {g(yn)}n qui ne converge pas vers g(Yo)=gof(zo)
ON NE PEUT RIEN CONCLURE SUR LA SUITE {g(y(PHI(n))}n
C'est pour cette raison que la Démo foire et a besoin de + de soins !!!
A+ LHASSANE

PS :
@ Mr Abdelbaki
Je vois maintenant !!
Vous parlez de la sous-suite {x(PHI(n))}n , en effet elle peut cvger vers a ou b puisque cela se passe dans le compact [a;b] .
@ damboy
Tu vois la difficulté de travailler avec les suites !!!!!!

Avec les suites:
On a g non continue en y0 et comme elle définit en y0,
il existe eps>0 et une suite (Yn) tels que :
qqs n>0, |Yn-y0|<1/n et |g(Yn)-g(y0)|>eps. (*)

Il existe r>0 tq [y0-r,y0+r] C f(]a,b[). Soit x0€f^(-1)({y0}).
il existe n0>0 tq [x0-1/n0,x0+1/n0]C]a,b[
Pour tout n>n0, I_n=f([x0-1/n,x0+1/n])n [y0-r,y0+r] est un segment contenant y0. Il y a deux cas:

- Si qqs n>n0, y0 est intérieur à I_n, il contient alors un Y_p(n)
Il existe Xn dans [x0-1/n,x0+1/n] tq f(Xn)=Y_p(n)
==> Xn--->x0 et g(f(Xn))=g(Y_p(n)) ne converge pas
vers g(y0)=g(f(x0)) d'après (*)


- Si Il existe n1>n0 tq y0 n'est pa intérieur à I_n1.
Alors I_n1 est le singleton {y0} ou y0 est l'une de ses extémités.
Si I_n1={y0} ==> f (x)=y0 sur [x0-1/n1,x0+1/n1]
==> g(f(x))=g(y0) sur [x0-1/n1,x0+1/n1]
==> gof est continue en x0

Maintenant, on voit que le résultat est faux pour tout x0 tq f(x0)=y0
et on est en mesure de construire un contre exemple:

Soit f:]-1,1[ ---> IR impaire ,
f(x)=0 si 0=<x=<1/2 et f(x)=2x-1 si 1/2=<x<1
f est continue sur ]-1,1[
Soit g :]-1,1[ ---> IR
g(x)=0 si -1<x=<0 et g(x)=1 si 0<x<1
g n'est pas continue en 0 et g(0)=0

0 est intérieur à f(]-1,1[)=]-1,1[

si -1/2=<x=<1/2 , g(f(x))= g(0)= 0 et gof est continue en 0.

Mais , au premier chef , c'est damboy qui sera gaté et satisfait !
C'est lui qui a posé cette question !!!
A+ LHASSANE

Bonjour ;

Abdelbaki >> dans ton contre exemple , y0=0 et gof est discontinue en x0=1/2 et on a f(x0)=y0
l'énoncé , tel qu'écrit par damboy , ne dit pas que gof est discontinue en tout point de f^(-1)({y0}) .
(sauf erreur de ma part bien entendu)

Effectivement Abdelali

Comme y0 est intérieur à f(]a,b[) , il existe (x,y) £ ]a,b[² tel que : f(x) < y0 < f(y)
et comme f est continue , y0 est intérieur à f([x',y']) où x'=min(x,y) et y'=max(x,y)
g étant discontinue en y0 , il existe r>0 et vn-->y0 tels que |g(vn)-g(y0|>r pour tout n
à partir d'un certain rang on a vn=f(un) avec un£[x',y']
si (wn) est une suite extraite de (un) convergente vers x0£[x',y'] alors f(wn)-->f(x0)=y0
et il est alors clair que |gof(wn)-gof(x0)|>r pour tout n (sauf erreur bien entendu)

Bien vu Abdelali. Donc l'idée est de construire un voisinage compact et connexe de y0 ( un segment) contenu dans f]a,b[.
IR est localement compact et localement connexe ...

Un grand merci à tous et désolé pour le retard de ce remerciement.

De rien damboy , c'était un exercice intéressant

Bonjour,

La réciporoque est-elle vraie?
Soit f une fonction continue sur un intervalle ]a,b[ de IR et soit g une fonction définie sur un voisinage ]c,d[ de y0 dans IR . On suppose que gof est continue sur f^(-1)({y0}) .
A-t-on g continue en y0 ssi y0 point intérieur à f(]a,b[) ?