inégalité simple

x,y,z >0:


( créé par moi)

j pas bien compris l'expression

C'est sans doute un SIGMA CIRCULAIRE !!
Il y aurait en fait deux autres expressions identiques à celle écrite par Neutrino mais en effectuant une permutation circulaire sur x,y et z !
Enfin , je crois !
A+ LHASSANE

oui

en effet je viens de détecter et corriger une erreur de frappe, à vous de jouer

Bonjour ;

Si on note S notre somme , il suffit de remarquer que : S = 1 + 4xyz/(x+y)(y+z)(z+x) et donc que
S=1+4(V(xy)/(x+y))(V(yz)/(y+z))(V(zx)/(z+x))=<1+4(1/2)(1/2)(1/2)=3/2(sauf erreur bien entendu)

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;

Si on note S notre somme , il suffit de remarquer que : S = 1 + 4xyz/(x+y)(y+z)(z+x) et donc que
S=1+4(V(xy)/(x+y))(V(yz)/(y+z))(V(zx)/(z+x))=<1+4(1/2)(1/2)(1/2)=3/2(sauf erreur bien entendu)

oui c'est bien ça, ou bien il suffit de remarquer que l'inégalité équivaut à


<=> ce qui est vrai avec IAG,
mnt une autre question:
en déduire que cos(A)+cos(B)+cos(C) <= 3/2, ( A et B et C sont les angles d'un triangle)
A+

on suppose que x+y+z=xyz et x=tanA et y=tanB et z=tanC

kalm a écrit:

on suppose que x+y+z=xyz et x=tanA et y=tanB et z=tanC

tu ne peuxx rien supposer, car j'ai pas donné des conditions sur(x,y,z)

oui j sait mais l'inegalité et clairement generale et si on a supposer que x+y+z=xyz ca va rien changer car c'est un cas particulier

kalm a écrit:

oui j sait mais l'inegalité et clairement generale et si on a supposer que x+y+z=xyz ca va rien changer car c'est un cas particulier

c'est un paradoxe ou koi

comment ?

tt simplement , c'est pas la bonne réponse, réfléchis bien

est ce que je peux poster la solution?!!, ben si quelqu'un la veut, il la demande par MP

J'ai une preuve directe de l'inégalité cosA+cosB+cosC =< 3/2 :

cosA+cosB=2.cos((A-B)/2).sin(C/2) =< 2.sin(C/2)
cosB+cosC=2.cos((B-C)/2).sin(A/2)=< 2.sin(A/2)
cosC+cosA=2.cos((C-A)/2).sin(B/2)=< 2.sin(B/2)

et en sommant cosA+cosB+cosC =< sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2) =< 3.sin((A+B+C)/6)) = 3/2

avec même un bonus : égalité <=> A=B=C (triangle équilatéral) (sauf erreur bien entendu)

On peut montrer de même que : cosA+cosB+cosC >= 1

neutrino a écrit:

elhor_abdelali a écrit:

Bonjour ;

Si on note S notre somme , il suffit de remarquer que : S = 1 + 4xyz/(x+y)(y+z)(z+x) et donc que
S=1+4(V(xy)/(x+y))(V(yz)/(y+z))(V(zx)/(z+x))=<1+4(1/2)(1/2)(1/2)=3/2(sauf erreur bien entendu)

oui c'est bien ça, ou bien il suffit de remarquer que l'inégalité équivaut à


<=> ce qui est vrai avec IAG,
mnt une autre question:
en déduire que cos(A)+cos(B)+cos(C) <= 3/2, ( A et B et C sont les angles d'un triangle)A+

soit a,b,c les longueurs des cotés du triangle d'angles A,B,C
on sait que cos(C) = (a²+b²-c²)/2ab et en posant a=x+y et b=y+z et c=z+x
on se retrouve dans l'inégo primitive CQFD .

bon voici la solution



si on pose : a=x+y,b=y+z,c=x+z on s'aperçoit bien que a,b,c sont les longueurs des cotés d'un triangle,



or d'après alkashi:



d'ou le résultat
A+

On pouvait aussi remarquer que la fonction cosinus est concave. C'est donc que cos((A+B+C)/3) >= 1/3 (cosA+cosB+cosC). La conclusion en découle directement.
Merci

jaliens a écrit:

On pouvait aussi remarquer que la fonction cosinus est concave. C'est donc que cos((A+B+C)/3) >= 1/3 (cosA+cosB+cosC). La conclusion en découle directement.
Merci

elle est concave seulement sur [-pi/2 ;pi/2]