equation fonctionnelle

trouver toutes les applications f:R->R continues en 0 telles que f(2x)=f(x)cos(x) pour tout x de R.

Bonjour ;

Pour x£IR* , on a f(x)=f(x/2).cos(x/2)=f(x/4).cos(x/4).cos(x/2)=...
et une petite récurrence donne f(x)=f(x/2^n).cos(x/2^n)...cos(x/2) pour tout n£IN* ,
et il est alors facile de voir que sin(x/2^n).cos(x/2^n)...cos(x/2)=sin(x)/2^n ,
et ainsi pour n assez grand ( pour que sin(x/2^n)#0 ) on a f(x)=f(x/2^n).sin(x)/(2^n.sin(x/2^n))
et en faisant tendre n vers l'infini on aboutit à f(x)=f(0).sin(x)/x ( égalité restant valable en 0 )

Inversement la fonction en rouge satisfait bien aux hypothèses (sauf erreur bien entendu)

c la meme que la mienne avec une ptite demo de
cos(x/2^n)...cos(x/2)=sin(x)/sin(x/2^n)2^n