Th. Darboux

Th. Si f: I ---> IR dérivable ( I un intervalle de IR) ==> f'(I) intervalle.

Les extensions suivantes de ce th. sont-elles vraies:
1) f différentiable de IR² -->IR , C connexe de IR² ==> f'(C) connexe
2) f différentiable de IR -->IR² , I un intervalle de IR ==> f'(I) connexe
3) f différentiable de IR² -->IR² , C connexe de IR² ==> f'(C) connexe

F: IR ---IR² F(t)=(f(t),g(t))
avec f(t)=sin(1/t)/t² si t#0 et f(0)=0
et g(t)=cos(1/t)/t² si t#0 et g(0)=0

Montrer F est differentiable et F'(0)=(0,0) est un point isolé de F'(IR). Conclure.