exo d'arithmo

montrer que (3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n pour tout n element de IN
V designe la racine carrée

salut voila:

juste?

Avec ton developpemnt de la première ligne pose n=1
normalement (3+V5)^n+(3-V5)^n=6+2V5
or si tu pose n=1 on a (3+V5)^n+(3-V5)^n=6
tu es d'accord avec moi qu'il y'a quelque chose qui ne va pas.

En remplaçant le n par un entier connu on n'a pas d'egalité donc je pense que t'a fait des erreurs

D'abord (3+V5)^n+(3-V5)^n est un entier?

oui,c'est un entier.

pourquoi c est un entier?

Virus a écrit:

montrer que (3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n pour tout n element de IN
V designe la racine carrée

BJR à Toutes et Tous !!
Bienvenue à nos nouveaux Amis Ivoiriens !!
Il faut connaitre la Formule du Binôme de Newton pour traiter cet Exo !!
Si a et b sont des entiers :
(a+b)^n= SIGMA {k=0 à n ; C(n;k).a^(n-k).b^k}
On appliquera cette formule
pour a=3 et b=rac5
puis
a=3 et b=-rac5
Ce qui va se passer , c'est la chose suivante
le terme C(n;k)a^(n-k).b^k lorsque k est IMPAIR et b=rac5 puis b=-rac5 va se transformer en son OPPOSE donc dans la somme :
(3+rac5)^n + (3-rac5)^n on trouvera :
2.SIGMA{j=0 à J ;C(n;2j).3^(n-2j).5^j}
ou J est le +grand entier tel que 2J<=n
C'est pour cette raison que :
(3+rac5)^n + (3-rac5)^n est bien un entier naturel ( même PAIR ! )
La suite est laissée pour Vous !!
A+ LHASSANE

pour le binome de newton a et b doivent être forcement entier?
si non on ne pourra pa l'utiliser a la qté (3+V5)^n car V5 n'est pas entier

a et b des nombres appartiennent a IR.et n entier naturel.

Virus a écrit:

pour le binome de newton a et b doivent être forcement entier?
si non on ne pourra pa l'utiliser a la qté (3+V5)^n car V5 n'est pas entier

BJR Virus !

La Formule du Binôme de Newton est VRAIE pout tout a et b d'un anneau quelconque à la condition que a et b commutent c'est à dire ab=ba .
ICI l'anneau c'est IR ( commutatif de surcroit ) , tu peux voir le Lien suivant :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_du_bin%C3%B4me_de_Newton

A+ LHASSANE

faire la réccurence

slt aminbe; c est quoi la réccurence svp.

si une proposition P est vraie pour n_o£IN
et on a l'implication P(n) vraie => P(n+1) vraie
alors P est vraie pour tout n>=n0 et nde IN

merci.