eq fonct.

determiner toutes les fonctions definies de IR+ vers IR+ verifiant l'égalité suivante
f(yf(x))(x+y)= x²(f(x)+f(y))

A+

Bonjour ;

En notant a=f(0) on a (en faisant y=0) pour tout x£]0,+oo[ , a = x ( f(x) + a )
soit pour tout x>0 , f(x) = a (1/x - 1 )
et f prenant ses valeurs dans IR+ on a nécessairement a=0. (sauf erreur bien entendu)

cherche encore un peu. ce sont pas les fonctions nul qui sont solutions.
Indications x,y >0 merci et excuse.
a+

Ton énoncé manquait de précision

On cherche donc toutes les applications f : IR+* --> IR+* vérifiant pour tous réels x , y > 0 la relation f(yf(x)).(x+y)=x²(f(x)+f(y)).

Condition nécessaire :

Si f est une telle application alors ,

pour tout réel x>0 on a f(xf(x))=xf(x) (faire x=y dans la relation rouge).

1 est l'unique point fixe possible de f car si f(x)=x et f(y)=y alors f(yx)/x²=f(xy)/y²=1 soit x=y soit f(x²)=x² soit x²=x soit x=1.

on en déduit que pour tout réel x>0 on a xf(x)=1 .

Condition suffisante :

La fonctions f : IR+* --> IR+* , x |--> 1/x est bien solution de notre équation fonctionnelle (sauf erreur bien entendu)