urgent

salut tout le monde j'ai besoin de votre aide SVP
a et b des réels tel que 0<b<a et a(n+1)=(a(n)+b(n))/2 et a(0)=a
et b(n+1)=2a(n)b(n)/(a(n)+b(n) et b(0)=b
1 démontre que (en) et (bn) sont adjacentes (moy7adyatane )
2)démontre que (anbn) est constante et dédui lim(n-->+inf)de a(n)
et merci

c'est urgent et merci encore une fois

on a an et bn >0 a demontrer per rec..
et (an-bn)²>= 0 <=> an+bn/2 >= 2anbn/an+bn
donc an>=bn => 2an>=an+bn=2a(n+1) =>(an) decroissante
de meme (bn) croissante et a>=an>=bn>=0 donc puisque (an) decroissante est minoré est convergente et de meme pour (bn) car elle est croissante et majoré
et on pose liman=l et lim bn=l'
lim(a(n+1)-b(n+1))=lim((an-bn)²/2(an+bn))
=>l-l'=(l-l')²/2(l+l')=>l-l'=0 (car l>=l'>=0 )
donc lim(an-bn)=0 d'ou (an) et (bn) sont adjacentes
2)
a(n+1)b(n+1)=anbn donc (anbn) est cte donc anbn=ab
est on a (an) et (bn) adjacentes donc elles ont la meme limite d'ou lim anbn=lim an²=ab => lim an=lim bn=rac(ab)

huntersoul a écrit:

salut tout le monde j'ai besoin de votre aide SVP
a et b des réels tel que 0<b<a et a(n+1)=(a(n)+b(n))/2 et a(0)=a
et b(n+1)=2a(n)b(n)/(a(n)+b(n) et b(0)=b
1 démontre que (en) et (bn) sont adjacentes (moy7adyatane )
2)démontre que (anbn) est constante et dédui lim(n-->+inf)de a(n)
et merci
c'est urgent et merci encore une fois

BJR huntersoul !!
Désolé , je suis en retard !!
Je voudrais rajouter deux choses :
1) Pour tout n a(n+1) est le MILIEU du segment d'extrêmités an et bn .
Comme a0=a et b0=b et que b0<a0 alors il est facile de voir et prouver que c'est la suite {an}n qui est Str. Décroissante ..
2) On peut écrire :
(1/b(n+1)=(1/2).{(1/an)+(1/bn)} pour tout n
Donc 1/b(n+1) est le MILIEU du segment d'extrêmités 1/an et 1/bn
et comme 1/a0 <1/b0 alors la suite {1/bn}n serait Str. Décroissante et de là la suite {bn}n serait Str.Croissante .....
On dit que b(n+1) est la moyenne harmonique de an et bn.
3) Ces deux suites sont adjascentes et leur limite commune (ab)^(1/2) s'appelle la MOYENNE ARITHMETICO-HARMONIQUE de a et b .

Merci Kalm et Mr Lhssane