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Coucou Oeil de Lynx c'est Claire !
Je suis en train de réviser analyse fonctionnelle et j'ai une question:

Soit E= { u de H1[0,1] : u(0)=u(1)}

H1[0,1] = { u de C[0,1]: il existe u' de L²[0,1] tel que u(t) -u(0) = intégrale entre 0 et 1 ( u'(s) ds ) pour tout t de [0,1] }

E muni de la norme usuelle.

Soit T: E->L²[0,1] défini par T(u) = u'

Montrer que T est un opérateur de Fredholm et donner son indice.

PS: L²[0,1] est l'espace des fonctions intégrables sur [0,1] à valeurs dans R
C[0,1] : fonctions continues sur [0,1]

Merci de ton aide!

Question: Quelle est la définition d'un espace de Fredholm?
Merci :p

BJR Claire !!! sa vas-tu bien !!

claired a écrit:

......
H1[0,1] = { u de C[0,1]: il existe u' de L²[0,1] tel que u(t) -u(0) = intégrale entre 0 et t ( u'(s) ds ) pour tout t de [0,1] }.........

J’ai juste eu le temps de consulter le Livre de Haim BREZIS ( Analyse fonctionnelle-Théorie et applications. Masson. Chapitre VI page 89 et suivantes ) pour voir la définition d’un Opérateur de Fredholm et toute la théorie ( c’est tellement loin pour moi et du ressort de l'inconnu…….)
Mais je ne lache jamais mes < choms> en cas de difficulté !!!
1) E et L²[0,1] sont des Banachs ( inutile de revenir là-dessus )
je crois reconnaître H1[0,1] comme étant l’espace de Sobolev habituel d’ordre 1 ( C'est un Hilbert en fait ) .
On a aussi H1[0,1]={u dans L²[0,1] t.q u' dans L²[0,1] }
2) T est un opérateur linéaire et CONTINUE de E dans L²[0,1]
Quelle norme prends–tu sur E ?
La norme du Sobolev H1[0,1] ?
si OUI : ||T(u)||=||u'||<=||u'||+||u||=|||u||| dans H1[0,1]
3) Déterminer le noyau de T soit N(T)
u est dans N(T) si et ssi T(u)=u’=0 ce qui signifie que pour tout t dans [0 ;1]
u(t) =u(0) + intégrale entre 0 et t ( u'(s) ds ) pour tout t de [0,1] }=u(0)
et donc u est constante sur [0 ;1]
La dimension de N(T) serait donc 1 .
4) Déterminer l’image de T soit R(T)
R(T) doit etre fermé dans L²[0,1] et de codimension finie !!
Enfin l’indice de T c’est DimN(T)-CodimR(T)

En fait pas grand chose comme aide !!

hamzaaa a écrit:

Question: Quelle est la définition d'un espace de Fredholm?
Merci :p

Bonjour hamzaa , désolée , je n'avais pas vu ton post.
Comme Oeil de Lynx l'a dit, un opérateur T de E dans F(E,F espaces de Hilbert) est de Fredholm si son noyeau est de dimension finie , son image et fermée et de codimension finie.
la codimension de Im(T) est la dimansion du complementaire de Im(T) dans F.
et de plus l'indice de T est ind(T) = Ker(T) - Codim(IM(T))

Oeil_de_Lynx a écrit:

BJR Claire !!! sa vas-tu bien !!
4) Déterminer l’image de T soit R(T)
R(T) doit etre fermé dans L²[0,1] et de codimension finie !!

Salut CLAIRE !!
Tu peux remarquer que l'application
h : u --------------->h(u)={u;u'}={u;T(u)} de E dans L²[0,1]xL²[0,1]
est exactement une ISOMETRIE compte tenu de la norme que tu considères sur E .
Il en résultera que h(E) est fermé dans L²[0,1]xL²[0,1] ; or h(E) n'est autre que le graphe de T ....
C'est peut etre une idée pour parvenir à R(T)=ImT fermé dans L²[0,1] .
Restera à chercher un supplémentaire de R(T) dans L²[0,1] qui soit de dimension finie , c'est 1 autre Pb !!!!

claired a écrit:

Coucou Oeil de Lynx c'est Claire !
Je suis en train de réviser analyse fonctionnelle et j'ai une question:

Soit E= { u de H1[0,1] : u(0)=u(1)}

H1[0,1] = { u de C[0,1]: il existe u' de L²[0,1] tel que u(t) -u(0) = intégrale entre 0 et 1 ( u'(s) ds ) pour tout t de [0,1] }

E muni de la norme usuelle.

Soit T: E->L²[0,1] défini par T(u) = u'

Montrer que T est un opérateur de Fredholm et donner son indice.

PS: L²[0,1] est l'espace des fonctions intégrables sur [0,1] à valeurs dans R
C[0,1] : fonctions continues sur [0,1]

Merci de ton aide!

H1[0,1] = { u de C[0,1]: il existe u' de L²[0,1] tel que u(t) -u(0) = intégrale entre 0 et t ( u'(s) ds ) pour tout t de [0,1] }

Soit u€H1[0,1] <==> u(t)=u(0)+(int de 0 et t)(Tu(s) ds )
==>(int de 0 et t)(Tu(s) ds )=0
==> ImT c Ker(phi) où phi la forme linéaire de L²[0,1]
définie par : phi(v)=(int de 0 et 1)(v(s) ds )
Inversement, soit v €L²[0,1] tel que phi(v)=0
==> u définie par: u(t)=u(0)+(int de 0 et t)(v(s) ds) est dans H1[0,1]. Donc ImT=Ker(phi)
==> ImT est fermé et Codim imT =1 car c'est un hyperplan et phi continu
==> IndT=0

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit u€H1[0,1] <==> u(t)=u(0)+(int de 0 et t)(Tu(s) ds )
==>(int de 0 et 1)(Tu(s) ds )=0 car u(0)=u(1)
==> ImT c Ker(phi) où phi la forme linéaire de L²[0,1]
définie par : phi(v)=(int de 0 et 1)(v(s) ds )
Inversement, soit v €L²[0,1] tel que phi(v)=0
==> u définie par: u(t)=u(0)+(int de 0 et t)(v(s) ds) est dans H1[0,1]. Donc ImT=Ker(phi)
==> ImT est fermé et Codim imT =1 car c'est un hyperplan et phi continu
==> IndT=0

BJR A.ATTIOUI !!
Pas mal l'idée de l'application phi en tant que forme linéaire continue et surjective ( puisque non nulle ) !!!
Celà m'a échappé ( n'importe comment ce n'était pas mon Truc mais ma curiosité est débordante ) !!!

Tres bien, Merci beaucoup pour votre aide!
J'ai bien compris.
Si je peux me permettre j'ai une autre question que je ne sais pas faire et que j'aimerais bien savoir faire d'ici on examen.
Toujours sur les opérateurs de Fredholm.

on considère E et F des espaces de Hilbert.

Un opérateur T de E dans F est de Fredholm si KER T est de dimension finie , IM T est fermé et de codimension finie ( c'est a dire que son supplementaire est de dimension finie)
et indice(T)= dim(KER(T)) - codim(IM(T))
j'ai réussi à montrer que pour tout opérateur de Fredholm T de E dans F(linéaire continu) d'indice 0, il existait un opérateur de rang fini S tel que (T+S) soit inversible.

On demande alors de montrer que pour tout opérateur compact K de E dans F et tout opérateur T de E dans F linéaire continu de Fredholm d'indice 0, (T+K) est un opérateur de Fredholm d'indice 0
indication : ecrire T+K= T+S+K-S ou S est definie comme dans la question que j'ai réussi avant.

Déja, je n'arrive pas à utiliser l'indication...
Je suis ouverte à toutes vos suggestions...
Merci beaucoup !

T+K=(I+(K-S)(T+S)^(-1))(T+S)
L'ensemble des opérateurs compacts est un idéal contenant les opérateurs de rang fini.
==> U=-(K-S)(T+S)^(-1) est un opérateur compact

Ker(T+K)=Ker(I-U) est de dimension finie car l'espace propre associé à 1 et U compact.
de même Im(T+K)=Im(I-U) est de codimension finie

L'espace quotient E/Im(I-U) ~ Ker(I-U) ==> Ind(T+K)=0

Merci beaucoup pour ta réponse.
En fait j'essaie de le montrer plus en terme d'analyse..
Je sais comment faire pour montrer que le noyau est de dimension finie, j'ai montré que la boule unité du noyau était compacte(c'est un théorème connu references: livre de Brezis )
Puis pour montrer que Im(T) est fermé et de codimension finie j'essaie de montrer par l'absurde que N1(x)<=CN2(T+K) C>O une constante et N1 et N2 les normes respectives sur E et F mais je n'arrive pas à le montrer.
Est ce que quelqu'un pourrait m'aider?Je suis en stress j'ai du mal à me concentrer..