congruence

Salam o alikom

l'exo est le suivant :

montrer que pour tout n impair

n^4 congru 1 modulo 16

-----------------------------
montrer que quelque soit n € IN : x+1 | (x^2n+1 ) +1


A+

BSR Spidercam !!!
Wa3alayka Essalam !!
Je te réponds pour le 1er si tu veux bien lire !!
On pose n=2k+1 avec k entier
alors n^2=4.{k^2+k}+1
puis n^4=16.{k^2+k}^2 + 8k.(k+1) + 1
Remarquez maintenant que k.(k+1) produit de deux entiers consécutifs est TOUJOURS divisible par 2
donc au final n^4=16.{........} +1
et par suite n^4 est égal à 1 modulo 16

Merci Monsieur Lhassane

Et pour le 2ème , cé aussi facile !
Penses au Binôme de NEWTON
x^(2n+1) +1= (x+1).{x^2n +.......+1}
ou bien :
Remarques que -1 est racine du polynôme P(X)=X^(2n+1)+1 puis effectues la Division Euclidienne ..

plutôt
x^(2n+1)+1=(x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)+x^(2n-2)-...+1)

je l'ai resolu sans le Binôme de Newton je sais pas si c juste ou pas :

on a : x+1=0 [x+1]
x=-1 [x+1]
x^2n+1 = (-1)2n+1 [x+1]
vue que 2n-1 est impaire donc -1^2n+1= -1

d'ou x^2n+1= -1 [x+1]

A+ je ne suis pas sur de ma reponse

Cé juste TANT que x ne prend que des valeurs entières !!!
Nous , nous avons traité la question sous l'angle des polynômes et de divisibilité dedans !!
Voilà tout .

Merci