Un Tout dernier sur les Groupes encore ....

BJR à Toutes et Tous !
Voici un énoncé d'exo sur les Groupes que je suis entr'ain de chercher et qui m'a été proposé par un Membre de notre Forum !!!
Soit G un ensemble non vide muni d'une l.c.i notée * qui est ASSOCIATIVE et vérifie :
Pour tout (a,b) dans GxG : les translations :
x----------------->a*x
x----------------->x*b
sont des BIJECTIONS de G sur G .
Montrer que (G,*) est un groupe .

aissa a écrit:

salut LHASSANE comment ça ,je souhaite que tu serra en trés bonne et parfaite santé, que dieu te préserve et te récompance par un paradi de ton choix.
tu jette un coup d'oeil sur mon sujet in sup ; intergation ; sans commentaire.
pour l'exo:
a fixe dans G il existe e tq: ae= a.
on démontre que ea=a , eb = b =be
il existe a' tq : aa' = e = a'a.

BSR AISSA !!
Merci pour tes bons voeux d'abord et puis permets-moi de t'exprimer toute mon amitié et te souhaiter la bonne santé et le succès professionnel !!
Pour l'exo sur les Groupes , cela ne me semble pas si évident que celà !!
En effet , pour chaque a dans G , il existe un élément e t.q a*e=a MAIS le Pb c'est que ce << e >> n'est pas le MEME pour tous les autres !! Le e dépend à priori de a !!!!!!
C'est là la difficulté : montrer que e est indépendant de a
Puis vérifier la neutralité de e par la Gauche.
Enfin , continuons à chercher ...... j'ai pas encore trouvé !!!!

BSR AISSA !!
Pas encore convaincu !!
Le << e >> dépend de a dans G !!!
Par contre tu m'as parlé de la régularité de tout élément de G pour la loi * et cela m'a échappé complètement !!!
Je suis entr'ain de finaliser une démo à peu près rigoureuse et je la posterais .
Merci tout de même pour ta contribution !!
et pour << NOTRE CHER PROF Mr LHASSANE >>
cette qualité , dont je te remercie pour l'attribution , je ne l'ai pas usurpée et je ne m'en suis jamais vanté !!!

salut cher LHASSANE:
que e dépend de a ou pas ne change rien à la définition de l'élément neutre ;
j'ai démontré qu'il existe e dans G tel que pour tout b de G on a:
eb = be = b donc e est l'élément neutre de G.

je sais bien que vous connaissez Mr LHASSANE l'éxo:
si (G,.) est tq . est associative , G est fini et les deux translation à droite et à gauche sont injective alors( G.).


fini => les transtations sont des bijection , c'est ce qu on a ,et on a pas besoin de fini . aissa.
aimablement.

Bjr
Merci:Mr lhassane et Aissa pour ce debat qui m'a fait penser au proverbe Arabe " ليث الشباب يعود يوما "
Je propose qu 'on etudie l'exemple :B ensemble des bijections de IR vers IR*+ munit biensur de la loi :O

Cette solution est proposée à Nea® car c’est lui qui m’a aimablement proposé cet exo dont il voulait par curiosité connaître une solution venue tardivement, il est vrai !

Part One : On va montrer que tout élément de {G,*} est régulier des deux cotés (à droite et à gauche)
Soit A dans G fixé et x, y deux autres éléments de G tels que
A*x=A*y, on doit vérifier que x=y ??
Posons B=A*x par exemple ; on sait selon les hypothèses que l’équation A*u=B possède une seule solution dans G !!
Or par construction x et y sont deux solutions de ladite équation par conséquent on a forcément x=y.
Ainsi A est bien régulier à gauche !!
Même démo pour A régulier à droite.
C’est cette propriété qui est LA CLEF de cet exo !!!!!

La suite ......

Part Two : On va prouver l’existence d’un élément neutre
dans G ;
G n’étant pas VIDE alors il existe un élément noté c dedans !!!
Et selon les hypothèses, il existera deux éléments uniques u et v dans G vérifiant :
c*u=c et v*c=c
On va maintenant montrer deux choses à savoir :
1) u=v (on posera alors u=v=e)
2) pour tout b dans G on a b*e=e*b=b
La preuve du 1) est basée sur la calcul de c*c
En effet c*c=(c*u)*(v*c)=c*(u*v)*c à l’aide de l’Associativité de la l.c.i * dans G.
L’élément c étant régulier à droite et à gauche
Alors on en déduira que :
c=(u*v)*c=v*c
puis c=c*(u*v)=c*u
en raison de la régularité de c, on en conclut que :
u=v=u*v et de là u=v que l’on pose égal à e.
La preuve du 2) : on calcule
b*c=b*(e*c)=(b*e)*c
c*b=(c*e)*b=c*(e*b)
Toujours en raison de la régularité de c , on en déduit que
b=e*b=b*e
Ainsi , on a trouvé un élément e dans G qui vérifie :
x*e=e*x=x pour tout x dans G .

La fin ....

Part Three:Tout élément x de G possède un symétrique.
Soit x dans G , l’équation
x*u=e possède une solution unique notée x’
Vérifions que l’on a aussi x’*x=e ????
Par l’associativité de * :
x*(x’*x)=(x*x’)*x=e*x=x*e
En raison de la régularité de x à gauche, on en conclut que x’*x=e
Ainsi x*x’=x’*x=e et donc x’ est bien le symétrique de x dans G.

madani a écrit:

Bjr
Merci:Mr lhassane et Aissa pour ce debat qui m'a fait penser au proverbe Arabe " ليث الشباب يعود يوما "
Je propose qu 'on etudie l'exemple :B ensemble des bijections de IR vers IR*+ munit biensur de la loi :O

BSR Mr MADANI !!
On a un petit problème de définition avec votre ensemble B !!
Il nous faudra soit considérer les bijections de IR dans IR
soit les bijection de IR*+ dans IR*+
En effet avec votre définition de B :
si f est dedans alors f serait une bijection de IR sur IR*+ et alors sa réciproque ( son inverse pour la loi ROND ) sera une bijection de IR*+ sur IR et donc là il y a un blème f^(-1) n'est pas dans B car n'est pas définie sur IR tout entier !!!!!

SUPERB MERCI à toi MR.LHASSAN ^^

bsr
Merci Mrs lhassane et Aissa pour leur reponses ! oui cé vraie mon exemple ne verifie ps la derniere condition de l'exo !

madani a écrit:

bsr
Merci Mrs lhassane et Aissa pour leur reponses ! oui cé vraie mon exemple ne verifie ps la derniere condition de l'exo !

BJR Mr MADANI !!
Mais si tu prends B=Ensemble des bijections de E sur lui-même muni de la loi ROND
avec E=IR ou E=IR*+ comme tu veux voire même E un ensemble non vide quelconque !!
Alors {B;O} a TOUJOURS une structure de groupe non abélienne !!
L'élement neutre est clairement Id sur E : x------->x
et tout élément f de B admet un inverse qui est traditionnellement noté f^(-1) ...............
Donc pas de Pb de ce côté !! C'était bien E qu'il fallait CLARIFIER !!!!!!

madani a écrit:

Bjr
Merci:Mr lhassane et Aissa pour ce debat qui m'a fait penser au proverbe Arabe " ليث الشباب يعود يوما "..............

BJR à Toutes et Tous
et BJR particulièrement à Vous Mr MADANI !!!
Votre pensée en ARABE est tellement riche et vraie en sens , elle m'interpelle agréablement !!!
Mais c'est pour simplement la démentir quelque peu !!!! Vous exercez le beau métier d'enseignant , métier que j'ai exercé aussi au service de ce beau MAROC que nous chérissons tous , avant de jeter l'éponge et partir vers d'autres cieux , la TERRE est si vaste en splendeurs ...
Ce beau métier , dis-je , nous donne l'opportunité de côtoyer quotidiennement et inlassablement des JEUNES et de ce fait , eux grandissent dans la tête et le corps , par contre, NOUS , avec le passage chaque année que DIEU fait , des générations nous restons en fait JEUNES dans la tête !!!
C'est celà le MIRACLE : rester JEUNE dans la TETE mais un peu moins biologiquement et organiquement dans le CORPS !!!!
Je vais arrêter de philosopher et Vous dis : à bientôt sur le Forum !!!

Oeil_de_Lynx a écrit:

madani a écrit:

Bjr
Merci:Mr lhassane et Aissa pour ce debat qui m'a fait penser au proverbe Arabe " ليث الشباب يعود يوما "..............

BJR à Toutes et Tous
et BJR particulièrement à Vous Mr MADANI !!!
Votre pensée en ARABE est tellement riche et vraie en sens , elle m'interpelle agréablement !!!
Mais , je veux simplement la démentir quelque peu . Vous exercez le beau métier d'enseignant , métier que j'ai exercé aussi au service de ce beau MAROC que nous chérissons tous , avant de jeter l'éponge et partir vers d'autres cieux , la TERRE est si vaste de splendeurs ...
Ce beau métier , dis-je , nous donne l'opportunité de côtoyer quotidiennement et inlassablement des JEUNES et de ce fait , eux grandissent par contre, NOUS , avec le passage chaque année que DIEU fait , des générations nous restons en fait JEUNES dans la tête !!!
C'est celà le MIRACLE : rester JEUNE dans la TETE mais un peu moins biologiquement et organiquement dans le CORPS !!!!
Je vais arrêter de philosopher et te dis : à bientôt sur le Forum !!!

Bjr Mr Lhassane
vos interventions , vos debats et vos sujets ds le frum temoingnent d'un esprit vif ,jeune et dynamiques et votre accompagnement et assistance au sein du forum prouve l'acquisition d'une culture high-class !
Losque j ai donné le proverbe arabe j ai surtout pensé a moi et comme le dit un autre proverbe "اهل مكة أدرى بشعابها" En effet mon experience avec ces trucs d'algebre est perimée et necessite une mis a jours presque incroyable et pour votre invitation a un ring sur forum je declare forfait car"اهل مكة أدرى بشعابها" ....en tt cas good look !

bjr
pouvez m expliquer un peu plus l existance de cet elemeent c qui verifie
c*u=c et v*c=c