look's Hard

memath a écrit:

a,b,c >=0   prouvez :

a,b,c>0.

tjrs ,
remarquons d'abord que , l'inégalité est homogène , so sans perte de généralité , supposons que a+b+c=1, avec r=abc,q=ab+ac+bc
l'inégo devient:

considérons la fct:



donc f est croissante , et puisque q>=9r alors l'inégalité devient:




<=>:

il est facile de voir que 18r-1<0 , reste à prouver que:
g(r)=14635r^3-1839r²+75r-1<=0 , ce qui est facile en étudiant g(r) et en tenant compte que : r£ ]0;1/27]
dédié a sn
A+

c la mm methode que j fait

Je pense que j'ai une solution mais qui est très laide
on a avec AM-GM: ((ab+ac+bc)/a²+b²+c²)^1/3 >= (ab+ac+bc)/(a²+b²+c²)
alors on doit prouver que: (a+b+c)^3/abc + ((ab+ac+bc)/a²+b²+c²) >= 28
toujours avec AM-GM on a:
abc <= (ab+ac+bc)²/(3(a+b+c)),
alors on doit prouver que:
3(a+b+c)^4/(ab+ac+bc)² +(ab+ac+bc)/(a²+b²+c²) >= 28,
on met: a²+b²+c²=x et ab+ac+bc=y,avec x>=y alors cette inégalité est equivalente a:
3(x+2y)²/y² + y/x >= 28,
ou aussi:
3x^3 + 12x²y -16xy² + y^3 >= 0,
avec AM-GM on a:
3x^3 + 12x²y+ y^3 >= 16V'(x^33y^15) >=16V'(x^16y^32)=16xy² (V' :racine seizième),parce que x >= y.
alors: 3x^3 + 12x²y -16xy² + y^3 >= 0,
alors l'inégalité voulue sera prouvée.

rachid18 a écrit:

Je pense que j'ai une solution mais qui est très laide:
avec AM-GM on a:
abc <= (ab+ac+bc)²/(3(a+b+c)),
alors on doit prouver que:
3(a+b+c)^4/(ab+ac+bc)² +(ab+ac+bc)/(a²+b²+c²) >= 28,
on met: a²+b²+c²=x et ab+ac+bc=y,avec x>=y alors cette inégalité est equivalente a:
3(x+2y)²/y² + y/x >= 28,
ou aussi:
3x^3 + 12x²y -16xy² + y^3 >= 0,
avec AM-GM on a:
3x^3 + 12x²y+ y^3 >= 16V'(x^33y^15) >=16V'(x^16y^32)=16xy² (V' :racine seizième),parce que x >= y.
alors: 3x^3 + 12x²y -16xy² + y^3 >= 0,
alors l'inégalité voulue sera prouvée.

tas oublié dans la 2 ligne , un ^(1/3)

Non neutrino,relis stp maintenant.

c'est b1 sa