polynome

soit P(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n un polynome dans IR[X] (avec a_n#0)
on suppose que P est scindé sur IR
m.q pour tout i dans [1,n-1] on a:
4a_(i-1)a_(i+1)<=(a_i)^2

je pense que l'inegalité est fausse, EX :

P(X) = (X-1)(X-2)(X-3) = X^3 - 6X^2 + 11X - 6
est un polynome scindé dans IR[X], mais
a_2 = -6, a_1 = 11 et a_3 = 1
donc (a_2)^2 = 36, et 4a_1a_3 = 44 > 36 = (a_2)^2

ben non!! puisque le i doit appartenir à [1,n-1], dans ton exemple i£[1,2] puisque le degré de ton polynome est 3

euh, non, c moi qui me suis trompé dsl
on m'a proposé cet exercice et j'ai pas pu le resoudre... y'a forcement une erreur!!

P(x)=(x-1)^n ==> ak=(-1)^k C(n,k)

ak²/a(k-1)a(k+1)=C(n,k)² /C(n,k-1)C(n,k+1)
=(k-1)!(k+1)! (n-k+1)!(n-k-1)!/k!²(n-k)!²
=(k+1)(n-k+1)/k(n-k)

pour k=1 ==> a1²/a0a2=2n/(n-1)>=4 ssi n=<2

m4trix a écrit:

soit P(X)=a_0+a_1X+...+a_nX^n un polynome dans IR[X] (avec a_n#0)
on suppose que P est scindé sur IR
m.q pour tout i dans [1,n-1] on a:
4a_(i-1)a_(i+1)<=(a_i)^2

deja posté il suffit de chercher.
en remplaçant les ai par leurs valeurs dans le dev de Taylor pour les polynomes ça devient une simple inegalité entre P et ses derivées ce qui nest pas loin a verifier.
a+