convergence faible

Bonjour, j'ai un petit probleme si vous pouvez m'aider. j'ai une suite d'opérateurs A_{n} défini d'un espace de hilbert H vers un autre hilbert K qui sont bornés mais dependent n et une suite u_{n} défini sur H qui converge faible vers u_{0} et en meme temps on a A_{n}u_{n} converge faiblement vers une limite B. maintenant si je prend v_{n} une suite qui converge faiblement vers la meme limite u_{0} est ce que la suite A_{n}v_{n} converge faiblement vers B.

qqs n, A_n: H ---> K bornée
(u_n) suite de H , u_n --> u faiblement
A_n(u_n) --> B dans K et (v_n) suite de H , v_n --> u faiblement.

Soit x dans K,
<A_n(v_n) , x>=<A_n(v_n-u_n) , x>+<A_n(u_n),x>
On a <A_n(u_n),x> ---><B,x>. Mais, je ne vois pas comment <A_n(v_n-u_n) , x> -->0 sans d'autres hypothèses