Probablités

Bonjour à tous !!
Je rencontre quelques difficultés sur le chapitre sur les probabilités...
J'aurais donc besoin d'aide sur un exercice...
Un questionnaire à choix multiples comporte 4 questions : A B C et D. A chaque questions 3 réponses sont proposées : A1 A2 A3; B1 B2 B3 et C1 C2 C3 et D1 D2 D3.
1) Montrer que le nombre de réponses possibles au QCM est de 81.
2) Un candidat répond au hasard à chaque question, calculer la probabilité de chaque événement : E " il a 4 réponses justes" F "il a les 3 premières justes et la 4ème fausse" G " il a la 1ère fausse et les 3 autres justes" et H "il a exactement 3 réponses justes" et enfin I " il a 4 réponses fausses".
Pour la 1 je vois les événements possibles A1 B1 C1 D1. A1 B1 C1 D2 etc mais je ne vois pas comment le démontrer avec un calcul.
Et pour la 2 pouvez vous me mettre sur la piste ?
Merci d'avance !!

BSR cha91 et Tous les Autres !!!
On suppose bien sûr qu'à chaque question posée , il n'y a qu'une seule réponse exacte qui figure parmi les 3 choix !!!!
De manière générale , une réponse au QCM est un quadruplet
{Ai,Bj,Ck,Dl} avec i,j,k et l pouvant prendre toutes les valeurs dans {1,2,3}
Il y a 3 façons de choisir les indices ci dessus donc on aura en tout 3x3x3x3=81 réponses possibles au questionnaire ce qui représente la réponse à la question 1)
Maintenant pour la 2):
Evènement E : 4 réponses justes on a une seule possibilité bien sur !!! Et la Proba de E est 1/81 assez MINCE ......
Pour l'évènement F .
Supposons que les réponses JUSTES aux questions soient A1,B1,C1 et D1 ( cela n'a R1 de restrictif ) alors F sera formé des possibilités suivantes :
A1,B1,C1 combinées avec D2 ou D3 donc en tout 2 situations favorables et la proba de F sera donc 2/81
La suite après .....

La suite .....
Pour l'évènement G c'est le même raisonnement que pour F !!!
Les cas favorables seraient en nombre de 2 ce sont
A2 ou A3 combinées avec B1,C1 et D1
à supposer toujours que les réponses exactes seraient A1,B1,C1 et D1
Donc la proba de G est 2/81.
Pour H : avoir 3 réponses JUSTES
Il y a C(4,3)=4 façons possibles de choisir 3 questions parmi 4
comme la question restante il répond FAUX alors le nombre de cas favorables serait égal à 2.C(4,3)=8
Ainsi la proba de H serait 8/81
et la fin suivra .....

La Fin ....
L'évènement I =<< Avoir 4 réponses FAUSSES >>
Pour chaque question posée il y a 2 manières de répondre FAUX donc , il y a 2x2x2x2=16 cas favorables de réponses toutes FAUSSES
Card I =16 et la proba de I serait donc 16/81

aussi une autre remarque
on pourra considérer que les questions sont indépendantes
de ce fait , la proba d avoir une réponse juste est 1/3 , et celle d'avoir une réponse fausse est 2/3
...

o0aminbe0o a écrit:

aussi une autre remarque
on pourra considérer que les questions sont indépendantes ( CE N'EST PAS UN PROBLEME ICI ) de ce fait , la proba d avoir une réponse juste est 1/3 , et celle d'avoir une réponse fausse est 2/3 POUR CHACUNE DES 4 QUESTIONS FORMANT LE QCM ...

La dépendance ou l'indépendance entre les questions n'affecte en rien la nature du QCM !!
Comme je l'ai signalé : pour chaque question du QCM , il est proposé la réponse JUSTE et deux autres qui sont FAUSSES.
Le problème est donc un Problème de type BERNOUILLI :
Répéter 4 fois la même expérience ( ICI c'est << Répondre JUSTE à une Question >> ) avec une proba de succès à chaque expérience égale à 1/3 et une proba d'échec égale à 1-1/3=2/3.

Selon le Modèle de BERNOUILLI , la variable aléatoire X désignant le nombre de questions auxquelles le candidat a répondu Juste et qui peut prendre les valeurs 0,1,2,3 ou 4 est définie par :
P{X=n}= C(4;n).(1/3)^n.(2/3)^(4-n)
Ainsi :
E correspond à n=4
H correspond à n=3
et enfin I correspond à n=0
Quant à F et G , on a :
P(F)=P(G)
puis P{X=3}=4.P(F)

oui; merci pour ces clarifications prof!