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BSR Sniper !!
Tu m’avais demandé une ébauche de Démo pour la question
2)) d) 3
Le petit espace L1 ( correspondant à p=1 ) est l’espace des suites de nombres réels X={xn}n telles que
SIGMA{n>=0 ;|xn|} soit FINIE
En d’autres termes la série de terme général |xn| est CONVERGENTE .
On sait qu’alors , si on pose
S(k ;X)=|x0|+|x1|+|x2|+…….+|xk| qui représente la somme partielle de rang k de la série , la suite {S(k ;X)}k est croissante majorée et converge vers , comme par hasard , ||X|| ( norme de X dans L1 ) lorsque k---> +oo
C’est cette propriété là que l’on va utiliser pour prouver que L1 est un EVN .
En conclusion , X est dans L1 si et ssi {S(k ;X)}k est MAJOREE
Noter aussi que :
(1) pour tout indice i dans IN on a |xi|<=||X||

1) Si X est dans L1 et si ||X||=0 alors d’après (1) , pour tout indice i dans IN |xi|=0 donc xi=0 d’où X={0}n
élément neutre de L1
et réciproquement d’ailleurs , par conséquent :
{ ||X||=0 <===> X=0 }
2) Si X est dans L1 et si a est réel quelconque , alors
a.X={axn}n puis S(k ;a.X)=|a|.S(k ;X)
La suite {S(k ;X)}k est convergente vers ||X|| , il en résulte que la suite {|a|.S(k ;X)}k est convergente vers |a|.||X||
La suite {S(k ;a.X)}k est donc convergente à la fois vers ||aX|| et |a|.||X|| , en raison de l’unicité de la limite , on peut écrire
||a.X||=|a|.||X||
La suite arrive …..

Enfin , il reste l’inégalité triangulaire pour la norme ||.||
Soient X={xn}n et Y={yn}n deux éléments de L1
On sait que X+Y={xn+yn}n et que pour chaque entier k ,on a
S(k ;X+Y)<=S(k ;X)+S(k ;Y) grace à l’inégalité triangulaire usuelle dans IR ( |a+b|<=|a|+|b| si a et b sont dans IR )
Or S(k ;X)<=||X|| et S(k ;Y)<=||Y|| pour tout k
Donc S(k;X+Y)<=||X||+||Y||
Par suite X+Y est dans L1 et de plus
||X+Y||=Limite qd k-->+oo de S(k ;X+Y)<=||X||+||Y||

En conclusion , tu remarques que la Démo concernant L1 est assez particulière comparée à celle de Lp pour p>1 ou on utilise
l'Inégalité d'Euler etc ....C'est pour cette raison qu'elle fait l'objet d'une question à part .

BJR Sniper !!

Dans cette partie III , il n’y a rien de compliqué !!
Il faut connaitre les objets que l’on manipule et ne pas oublier que sur IR^m , e.v.n de dimension finie , toutes les normes sont équivalentes .
En particulier , si , pour p>0 , on note Np la norme suivante sur IR^m
Np(x)={SIGMA{i=1 à m ; |xi|^p}}^(1/p)
si x=(x1,x2,…….,xm) est dans IR^m
Qui te donnera ,en particulier ,la Norme Euclidienne lorsque p=2 , alors :
Il existera deux constantes A>0 et B >0 telles que :
A.N2(x) <=Np(x) <=B.N2(x)
C’est l’équivalence des normes N2 et Np sur IR^m
1) L’application i est linéaire et injective . Cela ne présente aucune difficulté !!
i est un plongement de IR^m dans Lp , cela permet d’identifier IR^m à un sous espace vectoriel de Lp ( suites STATIONNAIRES nulles à partir du rang (m+1) )
2) I est continue puisque :
||i(x)||=Np(x)<=B.N2(x) pour tout x dans IR^m
Ici ||.|| représente la norme dans Lp
3) On suppose 1<p<2 .
Puisque i est linéaire , sa norme d’opérateur est définie par
||| i |||=SUP{||i(x|| , N2(x)<=1}=SUP{Np(x) , N2(x)<=1}
c’est aussi : ||| i |||=SUP{Np(x) , N2(x)=1}
Soit x=(x1,x2,…..,xm) dans IR^m
{Np(x)}^p=|x1|^p+|x2|^p+…….+|xm|^p =SIGMA{1.|xi|^p ; i=1 à m}
On prend alors , afin d’utiliser l’inégalité de HOLDER ,
s=(2/p) et t=2/(2-p) le conjugué de s
Il est CLAIR que s>1 ainsi que t et HOLDER donnera :
SIGMA{1.|xi|^p ; i=1 à m}<={SIGMA{1^t ; i=1 à m}}^(1/t) . {SIGMA{|xi|^(p.s) ; i=1 à m}}^(1/s)
soit
{Np(x)}^p<=m^(1/t).{N2(x)^2}^(1/s)
{Np(x)}^p<=m^((2-p)/2).{N2(x)^2}^(p/2)
{Np(x)}^p<=m^((2-p)/2).{N2(x)^p}
et si en plus N2(x)=1 ( x est dans la Sphère-Unité de IR^m pour la norme euclidienne )
alors
{Np(x)}^p<=m^((2-p)/2)

d’où enfin : Np(x)<=m^((2-p)/2p)
Comme (2-p)/2p=(1/p)-(1/2)
Alors , le résultat demandé est prouvé !!!
Et , il est facile de vérifier que ||| i ||| en tant que SUP est atteint pour le vecteur particulier de la Sphère-Unité de IR^m
X=(1/rac(m)).(1,1,…….,1)
En conclusion ||| i |||= m^((1/p)-(1/2))