Supposons par l'absurde que toute ligne et toute colonne contient moins de 2 nombres différents.Soit M la matrice 2*10 définie comme suit:
Si la colonne numéro j contient les nombres A et B (par exemple A est le premier terme de la colonne) alors M1j=A et M2j=B et si la colonne j contient uniquement A alors M1j=M2j=A.On remarque que chacun des nombres donnés doit figurer au moins 2 fois dans cette matrice.Comme la matrice contient au total 20 cases et que l'on dispose de 10 nombres,alors chaque nombre doit figurer exactement 2 fois dans cette matrice.Autrement dit,un nombre donné ne peut figurer dans plus de deux colonnes.
Si chaque colonne contient uniquement un nombre,en regardant les lignes on aura 10 nombres différents,absurde.Donc il existe au moins une colonne qui contient 2 nombres différents A et B.Regardons ce qui se passe pour une ligne passant par A:elle contient au moins 8 cases ou figure un nombre C différent de A(car A ne peut figurer dans plus de 2 colonnes et cette ligne contient au plus 2 nombres).Mais c'est absurde parce que C ne peut figurer dans plus de 2 colonnes.CQFD (sauf erreur)
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